그래프 최단 경로와 플로이드(Floyd-Warshall) 알고리즘

agugu95·2020년 6월 22일
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알고리즘

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목표

  • 플로이드 워셜 알고리즘을 이해한다.

플로이드 워셜 알고리즘

  • 가중치 방향 그래프 기반, 무방향도 가능
  • All to All, 모든 정점에 대한 최단 경로
  • 모든 정점은 1 ~ n까지의 정수 인덱스 소유
  • 음의 가중치 가능
  • Dynamic Programming 기법을 사용
    근데 다이나믹 프로그래밍은 다이나믹하지도 프로그래밍도 아니다
    문제를 쪼개고 풀고 그걸 다시 문제를 푸는데 이용하는데 오히려 분할 정복에 가깝다

플로이드 알고리즘의 로직


이런 그래프가 있다고 했을 때 최단 경로를 한다면 이렇게 구하자는거다

  1. 모든 경로에 대한 가중치를 입력한다.
  2. 이렇게 나온 가중치는 최단 경로가 아니다.
    정점 3으로 가는건 2->3 보다 2->1->3이 최단경로가 된다.
  3. 이제 각 정점에 대해 최단 경로를 갱신한다.
  4. 갱신된 경로를 이용해 다시 경로를 갱신한다.
  5. 결국 K번째 연산이 수행됐을 때 우리가 원하는 모든 정점을 거치는 최단 경로가 완성된다.

시간복잡도와 연산

  • 단순하게 반복을 3번 써서 비교하고 대입 연산한다
    K번까지 O(n)O(n), 2차원 배열 O(n2)O(n^2) = O(n3)O(n^3)

플로이드 알고리즘이 어떻게 최단 경로를 구성하는가?


요컨대 우리가 알고싶은건 kk까지의 연산과 k1[i,k]k-1[i,k], k1[k,j]k-1[k,j]를 지키지 않고 그냥 대입하는데 어떻게 최단 경로가 구성되는가인데 굉장히 간단하다.

  • jj는 항상 kk보다 크기때문에 kk를 늘려가면 모든 거쳐가는 정점을 알 수 있고
    그 정점에서 최소의 가중치만 가진 경로를 추출해내면 된다.
  • k1k-1인 정점의 경우 원래 경로의 구성은 마지막 정점jj의 바로 앞노드까지 이루어진다.
    그렇기때문에 k1[i,k]k-1[i,k], k1[k,j]k-1[k,j](i,k)(k,j)(i,k)(k,j)는 같다.

경로 추적

우리가 알고싶은 건 거리가 아닌 경로인데 이 경로를 어떻게 추적할까
기록용 배열을 따로 두고 최단 거리로부터 각 경로를 따라 이동하면 되는데
이는 iijj가 있다면 그 사이의 모든 정점을 거치기만 한다면 경로를 추적할 수 있기때문이다.
알면서도 설명이 좀 어려운데 간단하게 설명되어 있는 링크가 있다.
바킹독 경로복원

자바 플로이드 알고리즘의 구현

public void floyd() {
        long[][] spfArr = new long[graph.length][graph.length];
        for (int i = 0; i < graph.length; i++) { // 수행 할 배열
            System.arraycopy(graph[i], 0, spfArr[i], 0, spfArr.length);
        }
        for (int i = 0; i < spfArr.length; i++) { // 자기 자신으로 가는 길은 거리 0
            spfArr[i][i] = 0;
        }
        for (int k = 0; k < spfArr.length; k++) { // 거치는 정점 K
            for (int i = 0; i < spfArr.length; i++) { // 정점 K에 대해 모든 정점 순회
                for (int j = 0; j < spfArr.length; j++) {
                    // 기존 거리와 정점을 거치는 거리 비교
                    spfArr[i][j] = Math.min(spfArr[i][j], (spfArr[i][k] + spfArr[k][j]));
                }
            }
            for (long[] i : spfArr) {
                System.out.println(Arrays.toString(i));
            }
            System.out.println();
        }
    }

출력
[0, 4, 1, 1, 2147483647]
[4, 0, 5, 5, 8]
[1, 5, 0, 2, 15]
[1, 5, 2, 0, 6]
[2147483647, 8, 15, 6, 0]

[0, 4, 1, 1, 12]
[4, 0, 5, 5, 8]
[1, 5, 0, 2, 13]
[1, 5, 2, 0, 6]
[12, 8, 13, 6, 0]

[0, 4, 1, 1, 12]
[4, 0, 5, 5, 8]
[1, 5, 0, 2, 13]
[1, 5, 2, 0, 6]
[12, 8, 13, 6, 0]

[0, 4, 1, 1, 7]
[4, 0, 5, 5, 8]
[1, 5, 0, 2, 8]
[1, 5, 2, 0, 6]
[7, 8, 8, 6, 0]

[0, 4, 1, 1, 7]
[4, 0, 5, 5, 8]
[1, 5, 0, 2, 8]
[1, 5, 2, 0, 6]
[7, 8, 8, 6, 0]

결론

  • 반복문만으로 구현 가능한 최단 경로
  • 경로 추적이 필요

참고

권오흠 알고리즘
바킹독 블로그
영문 위키

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