선형대수에서 Column Space Picture란?

bismute·2020년 5월 23일
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개요

이 글은 MIT 18.06 Linear Algebra 2011 Fall을 랩메이트들과 들으며 꼭 기억하고 싶은 내용을 적는 글이다.

많은 사람들의 선형대수 스승일 Gilbert Strang은 학부 시절 계산만 해서 몰랐던 혹은 까먹었을 선형대수의 많은 부분들을 알려주고 계시다. 이 글에서 다뤄보고 싶은 내용은 Strang이 Unit 1: AX=B AND The Four Subspces에서 특히 강조하는 Column Space Picture에 대한 것이다.

선형대수 시리즈로 적어보면 좋겠는데 과연... 내가 그렇게 부지런할지는...

허수(Imaginary Value)란 무엇인가?

선형대수에서 뜬금없이 허수를 언급해서 이상하다고 생각할 사람이 많을 것 같다. 하지만 내가 수업을 들으며 Column Space Picture를 이해한 바가 허수의 의미에 대해 예전에 읽었던 내용과 관련이 있다. 그래서 우선 허수가 무엇이고 왜 필요한지에 대해서 이야기 해보고자 한다.

이 내용은 What relevance do imaginary numbers have to the real world? - University of Toronto Mathematics Network Answers and Explanations에 많은 영향을 받았다.

근의 공식

우리가 중등수학에서 처음으로 허수와 가까워질 때는 이차방정식의 일반해를 위해 근의 공식을 배울 때이다.

요즘 교육과정이 어떤지는 모르겠지만 나는 중등수학에서는 판별식 b^2 - 4ac가 양수이면 두 개의 근, 0이면 1개의 중근, 음수이면 해가 존재하지 않는다고 배웠다.

그리고 고등수학에 와서야 허수를 배우며 '사실 이차방정식에는 항상 2개의 해가 존재합니다 짜잔!'이라고 배웠던 기억이 난다.

그리고 이는 고차방정식으로 확장되어 n차 방정식(n-th order equation)은 n개의 해를 가진다는 결론에 다다를 수 있게된다. 즉, 우리는 허수의 존재를 통해 좀더 완전한 결론에 다가갈 수 있게 된 것이다.

분수와 소수(Decimal)는 실재하는가?

근의 공식은 내가 이해하고 있는 바를 완전히 설명하는 예시는 아니어서 결국 위의 글에서 이야기하는 또 다른 예시를 가져와서 설명해보고자 한다.

분수(fraction)혹은 소수(Decimal) 대해서 생각해본다면 이건 실재하는 수라고 할 수 있을까? 사과 3/5개, 여자친구 1.2명, 이런 것들은 존재할 수 없다.

어떤 사람이 하프 샌드위치(half sandwich)를 주문한다고 생각해보자. 어떻게 절반의 샌드위치를 시킬 수 있나? 다른 손님의 샌드위치를 절반 빼앗아오나? 아니면 다른 손님이 하프 샌드위치를 하나 더 주문할 때까지 기다렸다가 받을 수 있는걸까?(feat. The Big Bang Theory - Sheldon & Penny Funny Half Sandwich - YouTube) 사실 우리는 분수나 소수를 말할 때 내가 상상하는 전체에 대한 특정 비율(ratio)을 의미하고 있음을 알 수 있다.

수학적 도구로의 분수와 소수

현대물리학에 의하면 불연속적인 이 세상에서는 분수나 소수는 실재하지 않는다. 하지만 세상을 분석하는데 굉장히 유용한 도구가 된다. 위의 글에서는 다음과 같은 예시를 이야기한다.

  • 인구집단 A는 236명이며 그 중 48명이 어린이다.
  • 인구집단 B는 1234명이며 그 중 123명이 어린이다.
  • 인구집단 A의 어린이의 값(the fraction of children in population A)는 48/236이며 인구집단 B의 어린이의 값은 123/1234이다.
  • 48/236(대략 0.2)는 123/1234(대략 0.1)보다 훨씬 크다
  • 인구집단 A는 인구집단 B보다 0.1만큼 더 젊다고 할 수 있다.

이 때 인구집단 C,D,E가 존재한다고 하면 우리는 집단 내 어린이 비율을 통해 어떤 집단이 다른 집단보다 얼마나 더 젊은지 등을 분수를 통해 비교할 수 있다.

이와 마찬가지로 허수 또한 실재하지 않는 수지만 우리가 세상을 더 잘 이해할 수 있는 수학적 도구가 되어준다.

수의 그림자를 들여다 봄으로써 우리는 수면 위의 수들이 어떻게 움직이는지 더 깊게 이해할 수 있습니다.

The Column View of the linear algebra

AX = B를 이해하는 첫번째 방법, Row View

우리는 중등수학에서 일차연립방정식을 가우스 소거법으로 푼다. 다시말해, 미지수를 제거하고 구한 미지수의 값을 하나씩 대입해서 연립 방정식을 해결하게 된다.

이 강의를 듣는 랩메이트 중 한명이 어릴 때 미국에서 살다와서 종종 미국의 수학 교육과정 이야기를 듣게되는데 미국에서는 연립방정식을 배울 때 Elimination을 함께 배운다. 우리가 미지수를 이용해서 하는 가우스 소거법을 행렬을 이용해서 한다.

  • 파란색 1: 연립방정식을 행렬화 한뒤
  • 파란색 2: 행렬의 왼쪽 아래 부분을 모두 0으로 만든다.(nxn에서는 왼쪽 아래가 여러 개가 될 수 있다.)
  • 파란색 3: 대각선의 아이들은 pivot이 된다.
  • 파란색 4: 아래쪽에서 차례로 올라가며 대입해서 각 미지수를 구한다.

이와 같이 AX = B는 일차 연립방정식을 가우스 소거법으로 풀기위한 도구로 이해될 수 있다.

AX = B를 이해하는 두번째 방법

첫번째 방법에서는 행렬(Matrix)의 각 행(Row)이 어떤 연립 일차 방정식 미지수와 곱해진다고 본다. 즉 각 행의 원소(element)들이 해당 미지수들의 계수(coefficient)로 이해될 수 있다. 그래서 AX = B를 이해하는 Row View가 된다.

이 내용은 너무나 익숙하기 때문에 Gilbert Strang은 Unit 1에서 상대적으로 Column View를 많이 강조하신다.

Row View에서는 각 행을 미지수의 계수로 가지는 연립방정식이었던 반면, Column View에서는 각 행을 벡터(vector)로 생각할 때 이들의 선형 결합(linear combination)으로 생각할 수 있다. 이제 우리는 AX = B를 다음과 같이 시각화 할 수 있다.

그럼 우리는 이제 Column View를 이용해서 아래와 같은 B에 대해서는 쉽게 답할 수 있다. 세번째 열의 vector와 B가 똑같기 때문에 X = [0, 0, 1]이 답이 된다.

혹은 이런 것도! 첫번째 열의 vector와 세번째 열의 vector를 더하면(선형결합) B가 되기때문에 X = [1, 0, 1]이 답이 된다.

AX = BA의 Column Vector들을 어떻게(X) 선형 결합을 시켜야 B가 되는가를 찾는 문제로 해석할 수도 있다.

결론

마치 우리가 분수나 허수를 통해 실제 세상의 더 잘 이해할 수 있듯이, Column View도 행렬을 이해할 수 있는 수학적 도구로써 작동한다.

사실 Column View라는 거 자체는 굉장히 별 거 없어서 다른 예시들도 넣고 싶었는데... 그러니까 글이 너무 길어져서 미루기로 했다.

다음 글에서는 Column View를 기반으로 Column Space와 가능하다면 Four Spaces에 대해서 얘기해볼 예정이다. 그 다음에는 AX = B의 해가 어떻게 존재하는지(e.g. 없음, 하나임, 무한히 많음)를 고려하는 전체 그림에 대해서도!

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