기초통계학 - (2-1) 기술통계-중심경향값

중심경향값

Keyword - 중심경향값, 평균, 중앙값, 최빈값, 정규분포, 왜도

중심경향값 - 자료를 대표하는 값

• 자료를 도표화 했을때 많은 자료가 어떤 특정한 값으로 몰리는 현상을 중심경향(central tendency; 집중경향)이라함.
• 중심경향을 나타나는 특정한 값을 중심경향값(measure of central tendency)이라 함.
• 평균(mean), 중앙값(median), 최빈값(mode) 등이 있음

평균(Mean)

• 가장 흔하게 쓰이는 중심경향값.
• μ, m, x̄ 등으로 표기함.
• 전체 사례수의 값을 더한 뒤 총 사례 수로 나눈 값.
  $\bar x$ = $\frac{1}{n}$$(X_1+X_2+...+X_n)$ = $\frac{\Sigma X_i}{n}$
• 자료를 대표하는 중심경향값으로 가장 많이 쓰임.
• 이상치(outlier)의 영향을 많이 받고, 자료가 변함에 따라 민감하게 변화함.

중앙값(Median)

• 크기에 의해 숫자를 나열했을때 중앙에 위치하는 값.
• $\hat M$, $M_e$, $M_d$ 등으로 표기함.
• 사분위수의 2사분위값($Q_2$), 50% percentile
  - n수가 홀수면 중앙에 위치한값
  $\hat M = Y_{\frac{n+1}{2}}$
  - n수가 짝수면 중앙의 두 값의 평균값
  $\hat M$ = $\frac{Y_{n/2}+Y_{(n/2+1)}}{2}$
• 서열에 영향을 주지 않는 범위에서 자료의 변화에 의해 변하지 않음.

최빈값(Mode)

• 분포에서 가장 많은 도수를 차지하고 있는 값.
• $M_o$로 표기함
• 경우에 따라 여러개가 존재할 수 있기 때문에 중심경향값으로는 잘 쓰이지 않음.
• 최다 도수의 변화를 주지 않는 한 변하지 않음.

정규분포(Normal distribution)

• 모집단의 분포 및 표본평균의 분포를 그릴때 가장 많이 쓰이는 형태의 분포
  
• 최빈값이 하나인 unimodal distribution(단봉분포)이며, 한점을 기준으로 좌우 대칭
• 평균과 중앙값과 최빈값이 일치함.
• 다음 파트에서 다루게 될 표준편차와 평균 값에 따라 모양이 결정됨.
  $N(μ,σ^2)$

왜도(Skewness)

• 분포의 비대칭 정도(기울어진 방향, 기울어진 정도)를 나타내는 값
• 양수(+)인경우 오른쪽 꼬리가 길어지는 정적편포(positively skewed distribution)
  - Mode < Median < Mean
  
• 음수(-)인경우 왼쪽 꼬리가 길어지는 부적편포(negatively skewed distribution)
  - Mean < Median < Mode