기초통계학 - (4-2) 가설검정-Z검정,t검정

Z검정,t검정

Keyword - Z검정, 단일표본Z검정, 신뢰구간, 두표본Z검정, 비율검정, t검정

Z검정(Ztest)

• Z분포에 의하여 가설을 검정하는 통계적 방법
• 다음 네가지 조건을 만족할때 사용
  (만족못하면 t검정이나 비모수 통계를 실시)
  • 종속변수가 양적변수
  • 모집단의 분산($\sigma$)을 알아야함
  • 모집단의 분포가 정규분포여야함
  • 두 모집단을 비교할 경우, 두모집단의 분산이 같아야함
• Z검정의 분류
  • 단일표본 Z검정
  • 두 독립표본 Z검정
  • 두 종속표본 Z검정
  • 비율검정
  • 상관계수 검정
• 검정방법 분류
  • Z통계값에 의한 점추정
  • 신뢰구간에 의한 구간추정
• 기각영역 설정에 따른 분류
  • 양방적(two-tailed)검정
  • 일방적(0ne-tailed)검정

단일표본 Z검정(One sample Z test)

• Z 통계값에 의한 검정
  • $H_0$, $H_1$을 세운다.
  • $\alpha$ 와 $n$을 설정한다.
  • $\bar x$를 계산한다.
  • $\sigma_{\bar x}$를 계산한다.
    • $\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma_x}{\sqrt n}$
  • Z통계값을 계산한다.($\mu$는 귀무가설 값)
    • $Z = \frac{\bar x - \mu}{\sigma_{\bar x}}$
  • 유의수준을 고려하여 Z분포표에 의한 기각값을 찾는다.
  • 결론을 내린다.
• 신뢰구간에 의한 검정
  • 신뢰구간은 모수가 어느 범위 안에 있는지를 확률적으로 보여주는 방법
  • 유의수준 0.05에서 모수치의 범위(양방적검증)
    • $\bar x -1.96\sigma_{\bar x}\le \mu \le \bar x +1.96\sigma_{\bar x}$
  • 따라서 유의수준 0.05에서 영가설을 기각하지 않는 구역은 다음과 같음
    • $\mu-1.96\sigma_{\bar x} \le \bar x \le \mu+1.96\sigma_{\bar x}$
  • 즉, 표본의 평균이 $\mu \pm 1.96\sigma_{\bar x}$ 사이가 아닌 밖에 있다면 영가설을 기각한다.
    • 일방적검증(유의수준0.05)
      $\bar x \le\mu + 1.645\sigma_{\bar x}$
      혹은
      $\bar x \ge\mu - 1.645\sigma_{\bar x}$
      일때 영가설을 기각하지 못함

두 표본 Z검정(Two samples Ztest)

• 두 독립표본 Z검정(two independent samples Z test)
  • $H_0$, $H_1$을 세운다.
  • $\alpha$ 와 $n_1$,$n_2$을 설정한다.
  • 두표본으로부터 $\bar x_1$,$\bar x_2$를 계산한다.
  • $\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}$를 계산한다.
    • $\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}$
  • Z값을 계산한다.
    • $Z = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}}$
  • 유의수준에 의해 Z분포상의 기각값을 찾는다.
  • 결론을 내린다.
• 두 종속표본 Z검정(two dependent samples Z test)
  • 독립표본과 틀은 비슷하지만, 상관계수 r값을 구해야함
  • 표준오차$\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}$
    • $\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}-2r\frac{\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{n_1n_2}}}$
  • Z값
    • $Z = \frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}}$

비율검정(Proportion test)

• 단일표본 비율검정
  • $H_0$, $H_1$을 세운다.
  • $\alpha$ 와 $n$을 설정한다.
  • 표본비율 $\hat p$를 계산한다.
  • $\sigma_{\hat p}$를 계산한다($p_0$는 영가설)
    • $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}$
  • Z값을 계산한다.
    • $Z = \frac{\hat p - p_0}{\sigma_{\hat p}}$
  • 유의수준을 고려하여 Z분포표에 의한 기각값을 찾는다.
  • 결론을 내린다.
• 두 독립표본 비율검정
  • $H_0$, $H_1$을 세운다.
  • $\alpha$ 와 $n_1$,$n_2$을 설정한다.
  • 두표본으로부터 $\hat p_1$,$\hat p_2$를 계산한다.
  • $\bar p$를 계산한다.
    • $\bar p=\frac{n_1\hat p_1+n_2\hat p_2}{n_1+n_2}$
  • $\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}$를 계산한다
    • $\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\bar p(1-\bar p)(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}$
  • Z값을 구한다.
    • $Z = \frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}}$
  • 유의수준을 고려하여 Z분포표에 의한 기각값을 찾는다.
  • 결론을 내린다.

t검정(t-test)

• 다음 네가지 조건을 만족할때 사용
  (만족못하면 비모수 통계를 실시)
  • 종속변수가 양적변수
  • 모집단의 분산,표준편차를 알지 못할 때 사용
  • 모집단의 분포가 정규분포여야함
  • 등분산 가정이 충족되어야함
• 샘플로부터 분산을 구할땐 반드시 n-1로 나눠서 불편차 추정치를 사용
  • $s_x=\frac{\Sigma (y_i-\bar y)^2}{n-1}$
  • $\sigma_{\bar x}=\frac{s_x}{\sqrt n}$
• t분포에 의하여 기각값을 찾을때, $\alpha$와 $df$값에 따른 기각값을 찾아야함.
• 그 외엔 Z검정과 절차는 거의 동일함.

단일표본 t검정(One sample t-test)

• t 통계값에 의한 검정
  • $H_0$, $H_1$을 세운다.
  • $\alpha$ 와 $n$을 설정한다.
  • $\bar x$와 $s_x$를 계산한다.
  • $\sigma_{\bar x}$를 계산한다.
    • $\sigma_{\bar x}=\frac{s_x}{\sqrt n}$
  • t값을 계산한다.
    • $t=\frac{\bar x-\mu_x}{\sigma_{\bar x}}$
  • t분포표에서 $\alpha$와 $df$값에 따른 기각값을 찾는다.
  • 결론을 내린다.
• 신뢰구간에 의한 검정
  • $\mu-t_{0.95,n-1}\cdot \sigma_{\bar x} \le \bar x \le \mu+t_{0.95,n-1}\cdot \sigma_{\bar x}$

두표본 t검정(Two samples t-test)

• 두 종속표본 t검정(two dependent samples t-test)
  • $H_0$, $H_1$을 세운다.
  • $\alpha$ 와 $n$을 설정한다.
  • 두변수의 차이 $d$를 계산한다.
  • $\bar d$와 $s_d$를 계산한다.
  • $\sigma_{\bar d}$를 계산한다.
    • $\sigma_{\bar d}=\frac{s_d}{\sqrt n}$
  • t값을 계산한다.
    • $t=\frac{\bar d}{\sigma_{\bar d}}$
  • t분포표에서 $\alpha$와 $df$값에 따른 기각값을 찾는다.
  • 결론을 내린다.
• 두 독립표본 t검정(two independent samples t-test)
  • $H_0$, $H_1$을 세운다.
  • $\alpha$ 와 $n_1$,$n_2$을 설정한다.
  • $\bar x_1$,$\bar x_2$,$s^2_1$,$s^2_2$를 계산한다.
  • 통합분산 $s^2_p$를 계산한다.
    • $s^2_p=\frac{(n_1-1)s^2_1+(n_2-1)s^2_2}{(n_1-1)+(n_2-1)}$
  • $\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}$를 계산한다.
    • $\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{s^2_p(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}$
  • t값을 계산한다.
    • $t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}}$
  • t분포표에서 $\alpha$와 $df$값에 따른 기각값을 찾는다.
    • $t_{\alpha,df}$에서 $df = (n_1-1)+(n_2-1)$
  • 결론을 내린다.