[Mathematics] Vector & Metrix ; 벡터와 행렬

젠뉴·2022년 11월 16일
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Linear Algebra

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Vector

  • a list of things

    • 다변량 미적분학에서 things는 주로 number을 뜻함
  • vector가 단지 list of numbers일 경우 우리는 화살표로 공간에 나타낼 수 있다.

  • 다만 원점에서 시작하지 않고도 벡터 (0,2)에서 시작된 벡터 (4,2)를 나타낼 수 도 있다.

  • 그림 두개를 통해 둘다 vector (4,2)이지만 끝나는 지점이 동일하지 않다는 것을 알 수 있음
  • 이것이 종종 벡터를 공간(space)의 점(points)로 나타낼 경우 혼동될 수 있는 이유이다.

What is Vector?

v\overrightarrow{v} 위의 화살표는 해당 기호가 벡터(vector)임을 나타내는 것이다.

  • Notation 1

    • 이론적으로 이것이 하나의 점에 상응하는 것이 맞지만 우리는 이것을 vector로 상응한다고 할 것이다.
    • 이 개념은 어느 차원의 수와도 확장대응된다.
  • Notation 2

    • matrix 개념은 vector가 matrix와 상호작용할 때 유용하다

      ** What is a matrix?

    • an array of numbers that we surround with square brackets

    • matrix의 차원은 얼만큼의 행과 열이 있는지에 따라 달라진다.

      • Dimension = rows x columns
  • Notation 3

    • 아래 개념들은 오직 2,3차원에서만 적용된다.
    • i^\hat{i} 는 x vector의 단위로 i^=(1,0,0)\hat{i} = (1,0,0)이다. 이와 유사하게
    • j^=(0,1,0)\hat{j} = (0,1,0)
    • k^=(0,0,1)\hat{k} = (0,0,1)

Addition

  • 일반적으로 두개의 벡터를 더하면 우리는 상응하는 요소를 더하는 것이다.

    • 이것은 어느 차원의 수라도 적용되며 단순히 3개의 수에 대해서만 적용되는 것은 아니다.
    • a+b\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} 의 합을 그림에서 나타낸 것

Scalar Multiplication

scalar는 단순히 number의 다른 말이라고 생각하면 된다.
일반적으로 벡터에 숫자를 곱하는 것은 벡터 각 성분에 그 숫자를 곱하는 것을 의미한다.

  • 예를 들어 벡터에 2를 곱한다는 것을 2차원으로 나타낼 경우 ( = 벡터를 2배만큼 늘린다.)
  • 벡터에 -1을 곱한다는 것은 벡터의 방향을 바꾸는 것과 같다.

Magnitude

  • 위에서 했던 것 처럼, 벡터를 화살표처럼 나타낸다면 자연스러운 질문은 “그 벡터는 얼마나 긴가?”일 것이다.
  • 벡터의 크기(magnitude of a vector)는 다음과 같이 사용한다.
  • 피타고라스의 정리를 사용하여 계산한다.
    • 따라서 벡터의 크기 (a,b)는 a2+b2\sqrt{a^2 + b^2} 이다

Dot Product

aka. 내적, 스칼라 곱

  • 해당 식의 처음 두개는 ||a\overrightarrow{a}||와 ||b\overrightarrow{b}|| 이며 이것은 a\overrightarrow{a}b\overrightarrow{b}의 크기(magnitude)를 말한다. 따라서 dot product는 얼마나 벡터의 크기가 큰지를 고려한다.

  • 마지막 요소는 cos(θ)\cos(θ)인데 θ의 각도는 a와 b의 각도 사이에 존재한다.

  • 주의할 점은 두 벡터에 대한 dot product의 결과 값은 number이지 vector가 아니라는 점이다.

    • 따라서 벡터 a b c가 무엇과 동일한지 묻는 것은 옳지않다. 이미 a * b에 대해 dot product를 하여 어떠한 수를 결과값으로 낸 경우 우리는 이 number를 다른 벡터(c)와 다시 dot product하지 않는다는 것이다.
  • 특히 θ 이 0일 때, 두 벡터는 정확히 동일한 방향을 가르키게 된다. 이것은 벡터의 크기를 고려하지 않았을때dot product가 가장 클 때이다. 왜냐하면 cos(0) = 1 이기 때문이다. 일반적으로 두개의 벡터가 같은 방향을 가르킬수록, 두 벡터의 dot product 값이 커진다.

  • θπ2\frac{\pi}{2} 일때 두개의 벡터는 정확하게 서로 수직(perpendicular)이다. 이것은 두 벡터의 dot product가 0임과 상응한다. 왜냐하면 cos(π2\frac{\pi}{2}) = 0 이기 때문이다.

  • 두 벡터가 서로 반대 방향을 가르킬경우 또한 dot product은 음수이다. 이는 π2<θ<3π2\frac{\pi}{2} < θ < \frac{3\pi}{2} 일 때를 의미한다.

  • θ에 대해 생각하는 또 다른 방법은 하나의 벡터가 다른 벡터에 그림자를 드리우는 것을 상상하는 것이다. 각도가 작으면 그림자가 원점에서 멀리 떨어져 착지하고 dot product가 크다.

Dot Product의 공식

  • 예제
1(5)+32=11 * (-5) + 3 * 2 = 1

Cross Product

aka. 외적, 벡터곱

  • a\overrightarrow{a} x b\overrightarrow{b} 와 같이 cross product를 나타낸다.

  • dot product와 다르게(number를 반환한다는 점), cross product의 결과는 또다른 vector이다.

  • a\overrightarrow{a} x b\overrightarrow{b} = c\overrightarrow{c} 에서 c\overrightarrow{c}는 두개의 특별한 특징을 갖는다.

    • 특징1. 이는 a와 b 모두에 대해서 수직(perpendicular)이다.

      이는 ca=cb=0\overrightarrow{c} • \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} • \overrightarrow{b} = 0 이라고 표현할 수도 있다.

      • cross product는 오직 3차원에서만 작용한다. 2차원에서는 항상 다른 벡터쌍에 수직인 벡터가 존재하지 않기 때문이다. 4차원 그 이상에서는 다른 벡터쌍에 대해 무한대의 수직인 벡터가 존재하기 때문이다.
    • 특징2. c\overrightarrow{c}의 길이는 a와 b가 가르키는 지점이 얼마나 떨어져있는지로 측정된다.

      • dot product에서 cos를 사용했던 것과 달리 여기서는 sin을 사용한다.
      • θ의 각도는 마찬가지로 a와 b 사이이다.
        • 각도가 90˚일 때 가장 cross product의 값이 크다.

  • a와 b로 이루어진 평행사변형을 생각해보자.
  • 이 평행사변형의 길이는 ||a||이고 높이는 ||b||sin(θ)이다.
  • 이 의미는 이 평행사변형의 넓이가 cross product의 크기라는 것이다.
  • cross product의 공식

  • 예제) (3, 0, 2) x (-1, 4, 2) = (-8, -8, 12)

Matrices Intro

aka. 행렬

  • matrix란 square brackets로 둘러싸인 수들의 나열이다.
  • matrix의 차원은 얼만큼의 행과 열로 이루어져있는지로 결정되며 우리는 이것은 row x columns로 쓴다.
  • 예를들어 오른쪽은 2 x 3 matrix이다.

  • matrix가 동일한 수의 행과 열로 이루어졌을 경우 우리는 이것은 square matrix(정사각행렬)라고 한다.
  • matrix안의 수들을 원소(elements) 또는 entries라고 한다.

transpose of matrix (전치행렬)

  • 행과 열을 서로 바꾼 것
  • n x m 행렬 → m x n 행렬
  • αi,j\alpha_i,_jαj,i\alpha_j,_i가 되며 A에 대한 전치행렬은 ATA^T로 나타낸다.

vectors as matrices

  • 벡터는 수의 나열이기 때문에 우리는 이를 matrix로 표현할 수 있다.
  • row vector (1 x n)
  • column vector (n x 1)

Addition

Scalar Muliplication

Matrix multiplication

Visualizing Metrices

Matrices as movement

  • 행렬의 열은 i와 j가 어디로 움직이는 지를 말해준다.

    • 이는 i가 (1,1)로 움직이며 j가 (0,1)로 움직인다는 것이다.
    • 오른쪽 그림은 그 결과값을 의미한다.
  • 해당 좌표는 벡터 i (1,0)과 벡터 j (0,1)을 나타낸 것이다.

    • matrix A를 생각해보자

  • grid의 선을 항상 평행하고 일정한 간격으로 유지하며 원점을 고정된 상태로 유지하며 움직인다.

동일한 과정을 다른 행렬을 통해 진행한 결과이다.

  • 움지이는 원리 참조

How matrices move vectors

  • 행렬이 임의의 벡터를 어디로 이동시키는지 어떻게 찾을 수 있을까?

  • A에서 원소가 아닌 벡터 (1,2)로 어떻게 이동할 수 있을까?
  1. 행렬이 아닌 벡터의 이동

  1. 그리드에 따라 움직인 행렬에 대한 벡터

  • 이를 계산하기 위해 표현한 것이다. 기존 값에서 각각 A를 곱해주었다.
  • 프로세스는 다음과 같다.

Determinants

aka. 행렬식

Determinant as a scaling factor

  • work flow
    • 작은 상자의 시작은 그림과 같이 1이다.
  • 만약 matrix가 확장된다면, 이 행렬식은 1보다 커진다.

  • matrix가 확장되거나 축소되지 않는다면, determinant는 정확히 1이다.

  • 만약 matrix가 축소된다면 행렬식은 1보다 작아진다.

  • 몇몇 행렬식은 space가 너무 축소되어 사실상 모든 그리드를 하나의 선으로 flatten 시키게 된다.
    • 이것은 행렬이 단위벡터를 같은 선에 놓여 서로 배수를 만들 때 마다 발생한다. 이러한 행렬의 행렬식은 0이다.

  • 행렬식이 스케일링 요소(scaling factor)일지라도 이것이 항상 양수인 것은 아니다. ** scaling factor: 어떤 양을 늘리거나 줄이거나 곱하는 수
    • 행렬식의 부호(sign)은 i^\hat{i}j^\hat{j} 의 부호의 영향을 받는다.
      • 행렬이 방향이 뒤집히면 이것의 행렬식은 음수이다.
      • 주로 i^\hat{i}j^\hat{j}의 오른쪽에 위치하지만 그림과 같이 왼쪽에 존재하는 경우를 유의할 것

How to calculate determinants

2D determinants 계산하기

  • 행렬식을 쓰는데에는 두가지 방식이 있다.

  • 2차원 행렬식에서만 적용되는 2차원 행렬식 공식은 ad - bc 이다.

3D determinants 계산하기

  • 처음으로 a1,1a_1,_1에 위치한 2를 고려하자. 이를 anchor number라고 한다. anchor number와 동일한 행 또는 열에 있는 모든 원소들을 무시한다고 하자.
  • 우리는 이를 통해 2차원의 submatrix를 찾았다.
  • 계산한 submatrix의 행렬식 값인 2를 anchor number 2와 곱한다. (2*2 = 4)
  • 4는 전체 3D 행렬식을 찾기위한 3개 중 하나를 찾은 것이다.

  • 이번에는 a1,2a_1,_2 에 위치한 1이 anchor number가 된다. (똑같이 anchor number가 포함된 행과 열은 제외시켜줌)

  • 위와 동일한 방법으로 새로운 submatrix의 행렬식 계산은 32 - 11이 되며 이 값은 5이다.

  • 그리고 이 값을 anchor number의 negative 값과 곱해 두번째 값을 구한다. (-1*5= -5)

  • 일반적으로 anchor number의 값과 anchor number의 negative값을 곱하는 것을 반복한다. 아래 그림처럼 체크보드 패턴으로 말이다.

  • 마지막 단계로 anchor number는 2이다.

  • 체크보드 패턴에 따라 우리는 마지막에 negative값을 곱하지 않아도 된다.

  • 이번 term의 경우 sub determinant의 값은 34 - 31 = 9가 된다. 우리는 이것은 anchor number인 2와 곱해 값 18을 얻어낸다.

  • 최종으로 세가지 단계를 통해 구한 값 3개를 모두 더해준다.

    • 4 -5 +18 = 17
  • 또다른 example

  • 이 과정을 공식으로 나타내면 다음과 같다.

Connection to cross products

  • cross product에 대한 공식은 이쁘지 않지만 즉석에서 유도할 수 있는 트릭이 있다.
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