1. 서로소 집합

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
• 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다
  - 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
  - 찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
  

• 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 한다

• 여러 개 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같다
  1. 합집합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다
  - A와 B의 루트 노드 A′, B′를 각각 찾는다 (Find)
  - A′를 B′의 부모 노드로 설정한다 (Union)
  2. 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다

2. 서로소 집합 구현

- 기본적인 구현

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

기본적인 구현 방법의 문제점

• 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작한다
• 최악의 경우에는 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V) 이다
  - 다음과 같이 {1, 2, 3, 4, 5}의 총 5개의 원소가 존재하는 상황을 확인해 보자
  - 수행된 연산들: 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(4,5), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(3,4), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(2,3), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(1,2)
  

- 경로 압축

• 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있다
  - 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다
  

# 특정한 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

• 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가
  바로 부모 노드가 된다
• 동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면
  다음과 같이 부모 테이블이 갱신된다
• 기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도가 개선된다

3. 서로소 집합 사용

- 서로소 집합을 통한 사이클 판별

서로소 집합 자료구조의 연산은 무방향 그래프에서의 사이클 판별에 사용될 수 있다.

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트노드 확인
   i. 루트 노드가 서로 다르면 union연산 수행
   ii. 루트 노드가 같으면, 사이클(Cycle)발생
2. 그래프의 모든 간선에 대해 1. 반복

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

- 최소 신장 트리

대표적으로 최소신장트리를 만드는 알고리즘인 크루스칼(Kruskal)알고리즘에서 활용된다. 최소신장트리 알고리즘에 대해서는 따로 정리하도록 하겠다.

참고문헌

https://laboputer.github.io/ps/2017/10/07/disjointset/
https://freedeveloper.tistory.com/387