🫧 다이나믹 프로그래밍 (동적 계획법)
메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법이다.
이미 계산된 결과는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.
일반적으로 탑다운과 보텀업 두 가지 방식으로 구성된다.
✏️ 조건
1. 최적 부분 구조
큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.
2. 중복되는 부분 문제
동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.
✏️ 접근 방법
먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토한다.
다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려해 본다.
재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있다.
일반적인 코딩테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다.
🫧 구현 방식
✏️ 탑다운 (하향식)
구현 과정에서 재귀함수를 이용한다.
큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 재귀적으로 호출하고, 작은 문제가 모두 해결되었을 때 큰 문제에 대한 답을 얻을 수 있도록 구현한다.
이 과정에서 한 번 계산한 내용을 기록하기 위해 메모이제이션 기법을 사용한다.
메모이제이션
다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나이다.
한번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법이다. (메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미하기 때문에, 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아니다.)
같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다. 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱이라고도 한다.
✏️ 보텀업 (상향식)
구현 과정에서 반복문을 활용한다.
작은 문제를 해결하고, 이 값을 활용해서 차례대로 다음의 큰 문제들을 해결해 나간다.
다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태이다. 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다.
💡 다이나믹 프로그래밍 vs 분할 정복
- 다이나믹 프로그래밍과 분할정복은 모두 최적 구조를 가질 때 사용할 수 있다
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
- 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복
- 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됨
- 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않는다. (대표적인 예시: 퀵 정렬)
🫧 문제
✏️ 피보나치 수열
다이나믹 프로그래밍을 활용할 수 있는 대표적인 문제이다.
피보나치 수열은 1,1,2,3,5,6,13,21,34,55,89,... 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다.
점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미한다.
피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같다.
재귀 : O(2^N)
# 재귀 함수로 구현
def fibo(x):
if x==1 or x==2:
return 1
return fibo(x-1) + fibo(x-2)
print(fibo(4))탑다운 다이나믹 프로그래밍 : O(N)
먼저, 사용 조건을 만족하는지 확인하자.
1. 최적 부분 구조 : 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
2. 중복되는 부분 문제 : 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결한다.
피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족한다.
# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션하기 위한 리스트 초기화
d = [0]*100
# 피보나치 함수를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
# 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
if x==1 or x==2:
return 1
# 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
if d[x]!=0:
return d[x]
# 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
d[x] = fibo(x-1)+fibo(x-2)
return d[x]
print(fibo(99))보텀업 다이나믹 프로그래밍
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0]*100
# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99
# 피보나치 함수 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n+1):
d[i] = d[i-1] + d[i-2]
print(d[n])✏️ 문제 : 개미전사
해결
소스코드
# 정수 N을 입력 받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력 받기
array = list(map(int, input().split())
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0]*100
# 다이나믹 프로그래밍 진행(보텀업)
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0], array[1])
for i in range(2,n):
d[i] = max(d[i-1], d[i-2]+array[i])
# 계산된 결과 출력
print(d[n-1])✏️ 문제 : 1로 만들기
해결
소스코드
# 정수 x를 입력 받기
x = int(input())
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0]*30001
# 다이나믹 프로그래밍 진행(보텀업)
for i in range(2, x+1):
# 현재의 수에서 1을 빼는 경우
d[i] = d[i-1]+1
# 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
if i%2==0:
d[i] = min(d[i], d[i//2]+1)
# 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
if i%3==0:
d[i] = min(d[i], d[i/3]+1)
# 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
if i%5==0:
d[i] = min(d[i], d[i//5]+1)
print(d[x])✏️ 문제 : 효율적인 화폐 구성
해결
소스코드
# 정수 N, M을 입력 받기
n,m = map(int, input().split())
# N개의 화폐 단위 정보를 입력 받기
array = []
for i in range(n):
array.append(int(input())
# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001]*(m+1)
# 다이나믹 프로그래밍 진행(보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):
for j in range(array[i], m+1):
if d[j-array[i]] != 10001: # (i-k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
d[j] = min(d[j], d[j-array[i]]+1)
# 계산된 결과 출력
if d[m]==10001: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
print(-1)
else:
print(d[m])✏️ 문제 : 금광
해결
소스코드
# 테스트 케이스 입력
for tc in range(int(input()):
# 금광 정보 입력
n, m = map(int, input().split())
array = list(map(int, input().split()))
# 다이나믹 프로그래밍을 위한 2차원 DP 테이블 초기화
dp = []
index = 0
for i in range(n):
dp.append(array[index:index+m])
index += m
# 다이나믹 프로그래밍 진행
for j in range(1,m):
for i in range(n):
# 왼쪽 위에서 오는 경우
if i ==0: left_up = 0
else: left_up = dp[i-1][j-1]
# 왼쪽 아래에서 오는 경우
if i==n-1: left_down = 0
else: left_down = dp[i+1][j-1]
# 왼쪽에서 오는 경우
left = dp[i][j-1]
dp[i][j] = dp[i][j] + max(left_up, left_down, left)
result = 0
for i in range(n):
result = max(result, dp[i][m-1])
print(result)✏️ 문제 : 병사 배치하기
해결
소스 코드
n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))
# 순서를 뒤집어 '최장 증가 부분 수열' 문제로 변환
array.reverse()
# 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
dp = [1] * n
# 가장 긴 증가하는 부분 수열 알고리즘 수행
for i in range(1, n):
for j in range(0, i):
if array[j] < array[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
# 열외해야 하는 병소의 최소 수 출력
print(n - max(dp))