🫧 벨만 포드 최단 경로 알고리즘
음수 간선이 포함된 상황에서 최단 거리 문제를 풀 때 이용할 수 있다.
음수 간선에 관하여 최단 경로 문제는 다음과 같이 분류할 수 있다.
1. 모든 간선이 양수인 경우
2. 음수 간선이 있는 경우
2-1. 음수 간선 순환은 없는 경우
2-2. 음수 간선 순환이 있는 경우
벨만 포드 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 포함된 상황에서도 사용할 수 있다.
또한 음수 간선의 순환을 감지할 수 있다. 벨만 포드의 기본 시간 복잡도는 O(VE)로 다익스트라 알고리즘에 비해 느리다.
✏️ 문제 예시
BOJ '타임머신' 문제 中
N개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 버스가 M개가 있다. 각 버스는 A, B, C로 나타낼 수 있는데, A는 시작 도시, B는 도착 도시, C는 버스를 타고 이동하는데 걸리는 시간이다.
시간 C가 양수가 아닌 경우가 있다. C = 0인 경우는 순간 이동을 하는 경우, C < 0인 경우는 타임머신으로 시간을 되돌아가는 경우이다. 1번 도시에서 출발하여 나머지 도시로 가는 가장 빠른 시간을 구하는 프로그램을 작성하시요.
✏️ 동작 원리
- 출발 노드를 설정한다.
- 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 다음의 과정을 N-1번 반복한다.
3-1. 전체 간선 E개를 하나씩 확인한다.
3-2. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
만약 음수 간선 순환이 발생하는지 체크하고 싶다면 3번의 과정을 한 번 더 수행한다. 이때 최단 거리 테이블이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재하는 것이다.
✏️ 벨만 포드 알고리즘 vs 다익스트라 알고리즘
- 벨만 포드 알고리즘
- O(EV)
- 매번 모든 간선을 전부 확인한다. 따라서 다익스트라 알고리즘에서의 최적의 해를 항상 포함한다.
- 다익스트라 알고리즘(O(ElogV))에 비해서 시간이 오래 걸리지만, 음수 간선 순환을 탐지할 수 있다.
- 다익스트라 알고리즘
- 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 음수 간선이 없다면 최적의 해를 찾을 수 있다.
✏️ 소스 코드
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
def bf(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
dist[start] = 0
# 전체 n번의 라운드를 반복
for i in range(n):
# 매 반복마다 "모든 간선"을 확인하며
for j in range(m):
cur = edges[j][0]
next_node = edges[j][1]
cost = edges[j][2]
# 현재 간선을 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if dist[cur] != INF and dist[next_node] > dist[cur] + cost:
dist[next_node] = dist[cur] + cost
# n번째 라운드에서도 값이 갱신된다면 음수 순환이 존재
if i == n - 1:
return True
return False
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 모든 간선에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
edges = []
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
dist = [INT] * (n+1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split()
# a번 노드에서 b번 노드로 가능 비용이 c라는 의미
edges.append((a, b, c))
# 벨만 포드 알고리즘을 수행
negative_cycle = bf(1) # 1번 노드가 시작 노드
if negative_cycle:
print("-1")
else:
# 1번 노드를 제외한 다른 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(2, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if dist[i] == INF:
print("-1")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(dist[i])