[프로그래머스] Lv.2 점 찍기

Lv.2 점 찍기

문제 설명

좌표평면을 좋아하는 진수는 x축과 y축이 직교하는 2차원 좌표평면에 점을 찍으면서 놀고 있습니다.
진수는 두 양의 정수 k, d가 주어질 때 다음과 같이 점을 찍으려 합니다.

원점(0, 0)으로부터 x축 방향으로 a * k (a = 0, 1, 2, 3 ...), y축 방향으로 b * k (b = 0, 1, 2, 3 ...) 만큼 떨어진 위치에 점을 찍습니다.

원점과 거리가 d를 넘는 위치에는 점을 찍지 않습니다.

예를 들어, k가 2, d가 4인 경우에는 (0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 0), (2, 2), (4, 0) 위치에 점을 찍어 총 6개의 점을 찍습니다.

정수 k와 원점과의 거리를 나타내는 정수 d가 주어졌을 때, 점이 총 몇 개 찍히는지 return 하는 solution 함수를 완성하세요.

제한 사항

• 1 ≤ k ≤ 1,000,000
• 1 ≤ d ≤ 1,000,000

풀이

좌표 평면 위로 x축 방향, y축 방향으로 떨어지기 때문에 1사분면에 존재하는 1/4 크기의 원만 생각하면 된다.

Brute-Force

첫번째 풀이 방법으로는 2중 for문을 사용해 원의 방정식을 사용하였다.

#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

long long solution(int k, int d) {
    long long answer = 0;
    
    long long dd = pow(d,2);
    
    for(long long x = 0 ;x <= d; x+=k)
    {
        for(long long y = 0;y<=d;y+=k)
        {
            if(pow(x,2)+pow(y,2) <= dd)
                answer++;
        }
    }
    
    return answer;
}

테스트 케이스 11, 13, 14 에서 시간 초과가 발생했고,
통과한 테스트 케이스 또한, 효율적으로 보이진 않는다.

최악의 경우, O(1,000,000 * 1,000,000) 의 시간 복잡도가 생기기 때문에 그런 것 같아 다른 방법으로 접근해보았다.

수학적으로 접근하기

x 의 좌표를 for 문을 통해 지정해주면, y의 최댓값을 알 수 있다.

2중 for문에서 하나의 for 문으로,
시간 복잡도가 O(n^2) 에서 O(n) 으로 줄일 수 있었다.

#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

long long solution(int k, int d) {
    long long answer = 0;
    
    long long dd = pow(d,2);
    
    for(long long x = 0 ;x <= d; x += k)
    {
        long long ky = sqrt(dd - pow(x,2)) ;
        long long y = ky / k;;
        answer += y + 1; // ( 최댓값이 y 이므로 0 ~ y 까지는 y + 1 개)
    }
    
    return answer;
}

전체적으로 시간이 훨씬 절약된 것을 볼 수 있다.