[모두를 위한 선형대수학] 2. 선형결합 & 선형종속 & 선형독립

1. 선형결합(Linear combination)과 생성(Span)

• 선형결합(combination) : 벡터공간 V의 k개의 벡터들 $x_1, ···,x_k$에 스칼라를 곱하고 더한 결과인 $\vec v$를 벡터 $x_1, ···,x_k$의 선형결합이라고 한다.
• 벡터 공간은 ' + ' ' · ' 연산에 닫혀 있으므로, $\vec v$는 벡터공간 V에 속한다.
• 임의의 상수를 넣으면, 새로운 선형결합을 얻음
  • $v_1, v_2, v_3$ in $R$ → $c_1v_1, c_2v_2, ···, c_nv_n$ in $R$

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• 생성 (Span) : $span (\vec a, \vec b)=R^2$
  → $R^2$위 모든 벡터를 $\vec a, \vec b$의 선형결합으로 표현 가능

2. 선형독립(Linear combination independence)과 선형종속(Linear combination dependence)

• 선형독립(independence) : 벡터공간 V의 k개의 벡터들 $x_1, ···,x_k$의 선형결합으로 0을 만들 때, $x_1, ···,x_k$에 곱해지는 스칼라가 모두 0이면 $x_1, ···,x_k$는 선형독립이며,
  0이 아닌 값이 하나라도 있으면 선형종속(dependence) 이다.
• $x_1, ···,x_k$이 선형독립인 경우, $x_1, ···,x_k$ 중 어떤 벡터를 선택해도,
  나머지 벡터들의 선형결합으로는 그 벡터를 만들 수 없다.
• $R^3$를 생성하는 $\vec v$ 3개가 있다면 $\vec v$들은 선형독립이며,
  하나라도 선형독립하지 않으면 이 중 하나는 중복되거나 필요없는 것이며, $R^3$가 되지 않는다.

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• 선형종속 : $c_1$ or $c_2$ non zero (0이 아닌 값이 하나라도 있을 경우)
• 선형독립 : $c_1$ or $c_2$ both zero (모두 0일 경우)

  $\vec c_1= {a_1\brack a_2}, \vec c_2= {b_1\brack b_2} → c_1+c_2={0\brack0}$

2강. 요약정리