flowchart TD
A1["확률분포"] --- A2_2["정규분포"]
A2_2["정규분포"] --- A2_2_1["표준정규분포"]
A1["확률분포"] --- A1.5["베르누이분포"]
A1.5["베르누이분포"] --- A2_3["이항분포"]
A1["확률분포"] --- A2_4["연속형분포"]
A1["확률분포"] --- A2_5["변수변환"]
A2_3["이항분포"] --- A2_3_1["푸아송 분포"]
A2_3["이항분포"] --- A2_3_2["음이항 분포"]
%%A2_3["이항분포"] --- A2_3_3["기하 분포"]%%
A2_3["이항분포"] --- A2_3_4["초기하 분포"]
A2_4["연속형분포"] --- A2_4_1["베타 분포"]
A2_4["연속형분포"] --- A2_4_2["감마 분포"]
A2_4["연속형분포"] --- A2_4_3["지수 분포"]
균일분포
- 조건
- 구간 에서 균일하게 분포되어있다고하자
정의
f(x)=\begin{equation}\begin{cases} {1/(b-a)} & \text{if } a \le x \le b {}\\ {0} & \text{else } {}\end{cases}\end{equation}
- 균일분포의 확률분포함수
- F(x)=\displaystyle\int_{}^{}{f(x)dx}=\begin{equation}\begin{cases} {0} & \text{if } x <a {}\\ {(x-a)/(b-a)} & \text{if } { }a \le x <b \\ {1} & \text{ else } \end{cases}\end{equation}
지수분포- 조건
- 특정 사건 가 일어나고 또 다시 같은 사건이 일어나는데 걸리는 시간을 라 하자
- 이는 1- (인 푸아송분포 를 번 곱한값) 과 같다
- 정의
-
-
- 이를 로 표기하면
-
- 활용
- 신뢰성 이론, 생존모형, 보험계리모형에서 이렇게 표현하곤 한다
누적분포함수 사용
결합변환
적률
- 조건
- 확률변수 가 있다고 하자
- 정의
- 차 적률
-
- 차 중심적률
-
- 여기서 3차 중심적률은 비대칭성을 재는 척도로서 왜도skewness라 하고, 4차는 꼬리의 두께를 재는 척도로써 첨도kurtosis라고 부른다. 다만 왜도는 측정단위에 의존하므로 으로 나눈 단위를 왜도 계수라고 칭하고, 첨도도 를 나누고 3을 뺀 를 첨도계수라고 한다
적률생성함수
- 조건
- 확률변수 가 있다고 하자
- 어떤 에 대하여, 를 만족하는 모든 에서 라면
- 정의
-
- 성질
-
- 관련 정리
1. 확률 변수 가 같은 적률생성함수를 가지면, 두 확률변수는 같은 확률밀도함수를 갖는다
2. 이다
3. 만약 이 서로 독립이라면 이다
- 증명
2.
3.
- 예
- 이 서로 독립이고 성공확률이 인 베르누이 확률변수라고 하자.
- 베르누이 확률변수의 적률생성함수는 이다.
- 이때 이라면
- 이다 즉 의 이항분포를 따르는 확률변수의 적률생성함수는 앞에와 같다.