3. 도함수

미분계수와 변화율

곡선의 기울기 : 곡선 위의 한 점에서 접선의 기울기
점 P(a, f(a))에서 곡선 y=f(x)의 접선은 다음과 같은 기울기를 가지고 점 p를 지나는 직선이다.
$m=\lim_{x→a}$$f(x)-f(a)\over x-a$ , $f(a+h)-f(a)\over h$

속도 문제

순간 속도 $V(a)=\lim_{h→0}$$f(a+h)-f(a)\over h$

미분계수는 $f'a$를 나타낸다.

변화율 $Δx= x_2- x_1$
x에 대한 y 의 변화: $Δy=f(x_2)-f(x_1)$

x에 대한 y의 순간 변화율: $\lim_{Δx→0}$$Δy\over Δx$=$\lim_{x_1→x_2}$$f(x_2)-f(x_1)\over x_2-x_1$

함수로서 도함수

$f'(x)$=$y'$=$dy\over dx$=$df\over dx$=$d\over dx$$f(x)$=$Df(x)$=$D_xf(x)$
D와 $d \over dx$는 미분 연산자 라고 한다. 미분의 연산을 나타낸다.

$f'(a)$가 존재한다면 함수 f는 a에서 미분 가능하다고 한다. 함수 f가 구간 안의 모든 수에서 미분 가능하다면 개구간(a, b)에서 미분 가능하다고 한다.
f가 a에서 미분 가능하다면 a에서 연속이다.

---

미분이 불가능한 경우
꺽인 점
불연속 점
수직 접선

고계 도함수: ($d\over dx$)($dy\over dx$)=($d^2y\over dx^2$)
$y''=f''(x)$
상수함수의 도함수는 0이다.

n이 양의 (정수, 실수)이면 $d\over dx$$x^n= nx^n-1$

함수의 도함수

$d\over dx$$[cf(x)]=c$$d\over dx$$f(x)$
$d\over dx$$[f(x)±g(x)]=$$d\over dx$$f(x)±$$d\over dx$$g(x)$

곱의 법칙
$d\over dx$$f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$
나눗셈의 법칙
$d\over dx$$f(x)\over g(x)$=$g(x)f'(x)-g'(x)f(x)\over [g(x)]^2$

$d\over dx$$\sin x=\cos x$
$d\over dx$$\cos x=-\sin x$
$d\over dx$$\tan x=\sec^2 x$
$d\over dx$$\csc x=-\csc x \cot x$
$d\over dx$$\sec x=\sec x \tan x$
$d\over dx$$\cot x=-\csc^2 x$

연쇄 법칙
$F= f∘g,\ F(x)=f(g(x))$일때
$F'(x)=(f'g(x))×(g'(x)$
u=g(x) 일 때
$dy\over du$=$dy\over du$$du\over dx$

음함수의 미분법

데카르트의 엽선: $x^3+y^3=6xy$

음함수의 미분법: 양변을 x로 미분하고 그 결과를 $y'$에 대해 푼다.($dy \over dy$이용)

역함수의 도함수

역함수 $f^{-1}$를 가지는 f가 일대일 미분 가능한 함수이고 $f'(f^{-1}(a))≠0$ 이면, 역함수는 a에서 미분 가능하다.
$(f^{-1})'(a)=$$dy\over dx$=$1\over dx/dy$=$1 \over f'(b)$=$1 \over f'(f^{-1}(a))$

지수함수의 도함수

$f(x)=(1+x)^{1 \over x}$
$lim_{x→0}(1+x)^{1 \over x}=e$
$lim_{x→0}(1+{1 \over x})^x=e$

$lim_{h→0}{{a^h-1}\over h} = \ln a$
$lim_{h→0}{{e^h-1}\over h} = 1$

지수함수의 미분법
${d \over dx}a^x=a^x\ln a$
${d \over dx}e^x=e^x$

로그함수의 도함수

${x \over dx}a^x=a^x\ln a$
${x \over dx}e^x=e^x$
${x \over dx}\ln y ={1 \over y}{dy \over dx}$
${x \over dx}\ln g(x) ={g'(x) \over g(x)}$
${d \over dx} \ln |x| = {1 \over x}$

로그 미분법
복ㅈ바한 함수의 도함수는 종종 로그를 취해 간단히 해결될 수 있다.
1. 방정식 y=f(x)의 양변에 자연로그를 취하고 로그 법칙을 이용하여 간단히 한다.
2. x에 대해 음함수적으로 미분한다.
3. 결과적인 방정식을 $y'$에 대해 푼다.

역삼각함수의 도함수

$y=\sin^{-1}x, \sin y=x, {- \pi \over 2}\leq y \leq{ \pi \over 2}$
sin y=x를 x에 대해 음함수적으로 미분하여 다음을 얻는다.
1. $\cos y{dy \over dx}=1$
2. ${dy \over dx}={1 \over \cos y}$
3. $\cos y = \sqrt {1- \sin^2 y}= \sqrt {1- x^2}$
4. $dy \over dx$=$1\over \cos y$=$1\over \sqrt{1-x^2}$

${dy \over dx}\sin^{-1}x = {1 \over \sqrt{1-x^2}}\ , -1 \leq x\leq1$

${dy \over dx}\cos^{-1}x = -{1 \over \sqrt{1-x^2}}\ , -1 \leq x\leq1$

${dy \over dx}\tan^{-1}x = {1 \over {1+x^2}}$

${dy \over dx}\csc^{-1}x = {1 \over x\sqrt{x^2-1}}$

${dy \over dx}\sec^{-1}x = - {1 \over x\sqrt{x^2-1}}$

${dy \over dx}\cot^{-1}x = -{1 \over {1+x^2}}$

쌍곡선함수의 도함수

${d \over dx}\sinh x= \cosh x$
${d \over dx}\cosh x= \sinh x$
${d \over dx}\tanh x= sech^2 x$
${d \over dx}csch x= -cschx \coth x$
${d \over dx}sech x= sech x \ \tanh x$
${d \over dx}\coth x= -csch^2 x$

역쌍곡선 함수의 도함수

${dy \over dx}\sinh^{-1}x = {1 \over \sqrt{1 +x^2}}$

${dy \over dx}\cosh^{-1}x = {1 \over \sqrt{x^2-1}}$

${dy \over dx}\tanh^{-1}x = {1 \over {1-x^2}}$

${dy \over dx}csch^{-1}x = -{1 \over |x|\sqrt{1-x^2}}$

${dy \over dx}sech^{-1}x = - {1 \over x\sqrt{1-x^2}}$

${dy \over dx}\coth^{-1}x = {1 \over {1-x^2}}$

관련된 비율
자연성장법칙 $dy \over dt$=$ky$, k>0
자연붕괴법칙 $dy \over dt$=$ky$, k<0
미분 방정식 $dy \over dt$=$ky$의 유일한 해는 y(t)=y(0)$e^{kt}$

선형근사와 미분
$y=f(a)+f'(a)(x-a)$

선형근사
$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$

선형화
$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$
a부근의 값들에 대한 근사값을 구할 수 있다. (x가 a부근에 있을 때)

미분
미분가능한 함수 f에 y=f(x)라 하면 미분 dx는 독립변수이다. dx는 임의의 실수값으로 주어질 수 있다.
dy=f'(x)*dx, Δy=f(x+Δx)-f(x)
f(a+dx)$\approx$f(a)+dy