5. 적분

넓이

연속 함수 f의 그래프 아래에 놓이는 영역 s의 넓이 A는 근사 직사각형들의 넓이의 합의 극한이다.
$A=\lim_{n \rightarrow \infty}R_n=\lim_{n \rightarrow \infty}[f(x_1) Δx+f(x_2) Δx+...+f(x_n) Δx]$
$A=\lim_{n \rightarrow \infty}L_n=\lim_{n \rightarrow \infty}[f(x_0) Δx+f(x_1) Δx+...+f(x_{n-1}) Δx]$

표본점 : i번째 부분구간$[x_{i-1}, x_i]$에 있는 임의의 수 $x_i^*$에서 f의 값을 i번째 직사각형의 높이로 택할 수 있다. 이 때 $x_1^*,x_2^*, ...\ , x_i^*$
A=$\lim_{n \rightarrow \infty }[f(x_1^*)Δx+f(x_2^*)Δx+...+f(x_n^*)Δx]\\ =\lim_{n \rightarrow \infty } \sum^n_{i=1}f(x_i^*)Δx$

정적분

분할
[a, b]에서 정의되는 임의의 함수 f에서 분할점 $x_0, x_1, \ ... \ ,x_n 을 선정한다.$
n개의 작은 부분 구간으로 나눈다. $a=x_0<x_1< ... < x_n=b$
$[x_0, x_1],[x_1, x_2]...$들을 [a,b]의 분할 p라 한다.$Δx_i= x_i - x_{i-1}$

리만 합
$\sum^n_{i=1}f(x^*_i)Δx_i$ ,

$f(x^*_i)$가 음수면 빼면 된다.

정적분
f가 [a, b]에서 정의되는 함수이면 다음 극한이 존재할 때 a에서 b까지의 정적분은 $\int^a_bf(x)dx=\lim_{maxΔx_i→0}\sum^n_{i=1}f(x^*_i)Δx$
위 극한이 존재할 때 f는 [a, b]에서 적분 가능하다고 한다.

f가[a,b]에서 연속이거나 f가 유한 개의 도약 불연속 점을 가지면 f는 [a,b]에서 적분 가능하다. $\int^a_bf(x)dx$ 존재

f가 [a,b]에서 적분 가능하면 다음이 성립한다. $\int^a_bf(x)dx=lim_{n→\infty}\sum^n_{i=1}f(x_i)Δx$
이 때 $Δx={b-a \over n}$ 이고 $x_i=a+iΔx$ 이다.

$\sum^n_{i=1}i={n(n+1)\over2}$
$\sum^n_{i=1}i^2={n(n+1)(2n+1) \over 6}$
$\sum^n_{i=1}i^3=[{n(n+1) \over 2}]^2$
$\sum^n_{i=1}c=nc$
$\sum^n_{i=1}ca_i=c\sum^n_{i=1}a_i$
$\sum^n_{i=1}(a_i\pm b_i)=\sum^n_{i=1}a_i \pm \sum^n_{i=1} b_i$

중점 법칙($\bar x_i$)
$\int^b_af(x)dx \approx \sum^n_{i=1}f(\bar x_i)Δx=Δx[f(\bar x_1)+...+f(\bar x_n)]$
$Δx={b-a\over 2}$
$\bar x_i={1\over2}(x_{i-1}+x_i)=[x_{i-1}, x_i]$의 중점

정적분의 성질

$\int^a_bf(x)dx=-\int^b_af(x)dx$

a=b일 때 $\int^a_af(x)dx=0$

$\int^b_acdx=c(b-a)$

$\int^b_a[f(x) \pm g(x)]dx=\int^b_af(x)dx \pm \int^b_ag(x)dx$

$\int^b_acf(x)dx=c\int^b_af(x)dx$

$\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx=\int^b_af(x)dx$

적분의 비교 성질
$a \leq x \leq b$ 이고 $f(x) \geq 0$ 이면 $\int^b_af(x)dx \geq 0$
$a \leq x \leq b$ 이고 $f(x) \geq g(x)$ 이면 $\int^b_af(x)dx \geq \int^b_ag(x)dx$
$a \leq x \leq b$ 이고 $m \leq f(x) \leq M$ 이면 $m(b-a) \leq \int^b_af(x) \leq M(b-a)$

정적분 계산하기

정적분의 기본정리: f가 [a, b]에서 연속이면 $\int^a_bf(x)dx=F(b)-F(a)$
F는 f의 역도함수
$\int^a_bf(x)dx=F(x)]^b_a=\int f(x)dx]^b_a$

부정적분
$\int f(x)dx=F(x)$

$\int c f(x)dx=c\int f(x)dx$

$\int kdx=kx+C$

$\int \sin xdx=-\cos x$

$\int \sec^2dx=\tan x+C$

$\int \sec x \tan xdx=\sec x+C$

$\int [f(x) \pm g(x)]dx=\int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

$\int x^ndx={x^{n+1}\over n+1}+C$ , ($n \ne -1$)

$\int \cos x dx=\sin x+C$

$\int \csc^2 x dx=-\cot x+C$

$\int \csc x \cot x=-\csc x+C$

순 변화 정리
변화율의 적분은 순 변화 이다.
$\int^b_aF'(x)dx=F(b)-F(a)$

미적분학의 기본정리

$g(x)=\int^x_af(t)dt$ , ($a \leq x \leq b$)
f가 [a, b]에서 연속, g는 f의 역도함수
합성함수에 주의

역과정으로서의 미분과 적분
f가 [a, b]에서 연속일 때
$g(x)=\int^x_af(t)dt$ 이면
$g'(x)=(x)$
F를 f의 역도함수라 하면
$\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)$

적분의 평균 값 정리
f가 [a, b] 에서 연속이면 다음을 만족하는 c가 [a, b]안에 존재한다.
$f(c)=f_{ave}={1\over b-a}f(x)dx, 즉 \int^b_af(x)dx=f(c)(b-a)$

치환법

u=g(x)는 미분 가능하고 치역이 구간 $I$라고 하자 . 그리고 f가 I에서 연속이면 다음이 성립한다.
$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$

정적분의 치환 법칙
$g'$이 [a, b]에서 연속이고 f가 u=g(x)의 치역에서 연속이면 다음이 성립한다.
$\int f(g(x))g'(x)dx= \int^{g(b)}_{g(a)}f(u)du$

대칭성
f가[-a,a]에서 연속이면 다음이 성립한다.
f가 우함수 이면 $\int^a_{-a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$
f가 기함수 이면$\int^a_{-a}f(x)dx=0$