10. 그래프 이론

그래프 이론 장에서 주로 다룰 내용은 다음과 같습니다.

0. DFS/BFS/Shortest-Path
1. 유니온-파인드(상호 배타적/서로소 집합, Disjoint Set)
2. 최소 신장 트리(크루스칼 알고리즘)
3. 위상 정렬 알고리즘

부록(기타 알고리즘)은 따로 정리할 예정입니다.

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10-1. 이미 배운 내용을 훑어보자.

이미 배운 내용

• DFS/BFS
• 최단 경로

앞으로 배울 내용

• 크루스칼 알고리즘 (그리디)
• 위상정렬 알고리즘 (큐/스택 자료구조 이용)

10-1-1. 그래프(Graph)

그래프란 노드(Node)와 노드 사이에 연결된 간선(Edge)의 정보를 가지고 있는 자료구조를 의미한다.

알고리즘 문제를 접했을 때 서로 다른 개체(객체)가 연결되어 있다는 이야기를 들으면 가장 먼저 그래프 알고리즘을 떠올려야 한다.
ex) 여러 개의 도시가 도로로 연결되어 있다 ....
N개의 집을 방문하려는데, 도로로 연결되어 있다...
축제로 가는 최단 경로를 찾는데 각 마을마다 도로로 연결 되어있다...

그래프의 구현 방법은 2가지 방법이 존재한다.

인접 행렬(Adjacency Matrix)

• 2차원 배열을 사용하는 방식
• 소요 메모리: $O(V^2)$
• 소요 접근 시간: $O(1)$

인접 리스트(Adjacency List)

• 리스트를 사용하는 방식
• 소요 메모리: $O(E)$
• 소요 접근 시간: $O(V)$

9장에서 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 인접 리스트를 이용하는 방식이다. 노드의 개수가 V개일 때는 V개의 리스트를 만들어 각 노드와 연결된 모든 간선에 대한 정보를 리스트에 저장했다.

반면 플로이드 워셜 알고리즘은 인접 행렬을 이용하는 방식이다. 모든 노드에 대하여 다른 노드로 가는 최소 비용을 $V^2$크기의 2차원 리스트에 저장한 뒤에 해당 비용을 갱신해서 최단 거리를 계산했다.

어떤 문제를 만나든 메모리와 시간을 염두에 두고 알고리즘을 선택, 구현해야 한다.
예를 들어 최단 경로 문제를 만났을 때, 노드의 개수가 적다면 플로이드 워셜 알고리즘을 이용할 수 있다. 반면에 노드와 간선 개수가 많으면 다익스트라 알고리즘을 이용하면 유리하다.

10-1-2.트리(Tree)

다익스트라 최단 경로 알고리즘에는 우선순위 큐가 사용되었는데, 우선 순위 큐를 구현하기 위해 최소 힙/최대 힙 자료구조를 이용할 수 있다고 했다.

힙(Heap) 자료구조
최소 힙은 항상 부모노드가 자식 노드보다 크기가 작다.
최대 힙은 항상 부모노드가 자식 노드보다 크기가 크다.
참고로, 트리는 전통적인 수학에서는 무방향이지만, 컴퓨터공학 분야에서는 보통 방향 그래프로 간주한다.

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드가 없음	루트 노드가 존재
노드간 관계성	부모와 자식 관계 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

10-2 기타 그래프 알고리즘

10-2-1. 서로소 집합(Disjoint Sets)

• 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.
• $given A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$
• $A \cap B = \emptyset$
• A와 B는 서로소 관계이다.

서로소 집합 자료구조(Union-Find 자료구조)

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조 (무느알?)
• 서로소 집합 자료구조는 union, find 로 조작할 수 있다.
• union 연산은 2개의 원소가 포함된 하나의 집합으로 합치는 연산이다.
• find 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.

서로소 집합 자료구조를 구현할 때에는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현한다.
서로소 집합 정보가 주어졌을 때 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다.

서로소 집합 계산 알고리즘
1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
1-1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다
1-2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (B'가 A'를 가르키도록 한다).
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때 까지 1번 과정을 반복한다.

실제로 구현할 때는 A'와 B'중 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현하는 경우가 많다.

# 기본적인 서로소 집합 알고리즘
def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    else:
        return x

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(a)
    b = find_parent(b)

    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)

for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent,a,b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ')
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent,i), end=' ')
    
print()

# 부모 테이블 출력
print('부모 테이블: ')
for i in range(1,v+1):
    print(parent[i], end=' ')

다만, 이렇게 구현한다면 find 함수가 비효율적으로 동작한다.
최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인하여 $O(V)$가 된다.
결과 적으로 현재 알고리즘을 그대로 이용하게 되면 노드의 개수가 V개고, find/union 연산의 개수가 M개일 때 전체 시간 복잡도는 $O(VM)$이 되어 비효율적이다.

하지만 경로 압축 기법을 적용하면 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다.

# 경로 압축 기법 소스코드
def adv_find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x]=find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

10-2-2. 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도

• 노드의 개수가 V개
• 최대 V-1개의 union 연산과 M개의 find 연산
• (경로 압축 적용) $O(V+M(1+log_{2-M/V}{V}))$$\approx O(V+Mlog_2V)$

10-2-3. 서로소 집합을 활용한 사이클 판별

무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.

방향 그래프에서는 DFS를 사용하여 사이클을 판별 할 수 있다.

사이클 판별하는 과정은 다음과 같다.

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   1-1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
   1-2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 '1번' 과정을 반복한다.

10-3. 신장 트리

신장 트리(Spanning Tree)란 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의마한다.
이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하다.

10-3-1. 크루스칼 알고리즘

N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결 될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각해보자. 2개의 도시 A,B를 선택했을때, 도시 A에서 도시 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치하고자 한다. 모든 도시를 '연결'할 때 최소한의 비용으로 연결하려면 어떤 알고리즘을 이용해야 할까?
이때 사용되는 것이 크루스칼 알고리즘이다.
크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
   2-1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   2-2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

최소 신장트리는 일종의 트리 자료구조이므로, 간선의 개수가 '노드의 개수 - 1'과 같다는 특징이 있다.
따라서 크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다는 것이다. 다만, 사이클을 발생시키는 간선은 제외한다.
이렇게하면 항상 최적해를 보장할 수 있다.

# 경로 압축 사용
def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    else:
        return x

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(a)
    b = find_parent(b)

    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)

for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

edges = []
result = 0

for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append({cost,a,b})
    
edges.sort()

for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    if find_parent(parent, a)!= find_parent(parent,b):
        union_parent(parent,a,b)
        result+=cost

print(result)

다시 생각해보는 거지만 python의 구조분해할당?(언팩) 저게 좀 사기다
cpp는 tuple<int,int,int>를 선언하고 get\(Object)로 받아야하는데
C++ 17부터는 이를 지원한다고는 하나 코딩테스트에서 C++ 17을 지원 해줄 까 ㅠ

10-3-2. 크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

• 간선의 개수가 E개일 때
• $O(ElogE)$
• 이는 전적으로 간선을 정렬 할 때 걸리는 시간 복잡도(퀵 소트)에 의존적이다.

10-4. 위상 정렬

위상 정렬(Topology Sort)는 정렬 알고리즘의 일정이다.

• 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘
• 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것이다.
• ex) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정
• 진입 차수(Indegree), 특정한 노드로 '들어오는' 간선의 개수를 의미한다.

위상 정렬의 알고리즘은 다음과 같다.

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌때까지 다음의 과정을 반복한다.
   2-1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2-2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면, 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
다시 말해 큐에서 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비어버리면 사이클이 발생한 것이다.
사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문이다.

# 위상 정렬 소스코드
from collections import deque

v, e = map(int, input().split())

# 진입 차수 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)

# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)
    indegree[b] += 1


def topology_sort():
    result = []
    q = deque()
    
    for i in range(1, v+1):
        if indegree[i] == 0 :
            q.append(i)
    while q:
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        for i in graph[now]:
            indegree[i]-=1
            if indegree[i]==0:
                q.append(i)
                
    for i in result:
        print(i,end=' ')
    
topology_sort()

위상 정렬의 시간 복잡도는 $O(V+E)$이다.

• 차례대로 모든 노드륵 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다.
• 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 $O(V+E)$의 시간이 소요된다.