베이즈 정리

조건부 확률(Conditional prbability)

한 사건이 일어났다는 전제 하에서 다른 사건이 일어날 확률

조건부 확률 공식

$P(A|B) = {P(B|A)P(A) \over P(B)}$

P(A) : 사전확률(prior)
사건 B가 발생하기 전에 가지고 있던 사건 A의 확률

P(A|B) : 사후확률(posterior)
사건 B가 발생한 후 갱신된 사건 A의 확률

P(B|A) : 가능도(likelihood)
사건 A가 발생한 경우 사건 B의 확률

P(B) : 증거(evidence)
확률의 크기 조정

베이즈 정리(Bayesian rule)

새로운 정보를 토대로 어떤 사건이 발생했다는 주장에 대한 신뢰도를 갱신해 나가는 방법

베이즈 정리 예제

어떤 희귀병을 진단하는 약물 A의 정확도는 99%이다.
이 희귀병에 걸릴확률은 전체 인구의 0.2%이다.
만약 이 진단약물이 양성이라고 판정했을 때, 실제 질병에 걸렸을 확률은 ?

$P(user|+) = {P(+|user)P(user) \over P(+)}$

$= {P(+|user)P(user) \over P(+|user)P(user)+P(+|NONuser)P(NONuser)}$

$0.99 \times 0.002 \over 0.99 \times 0.002 + 0.01 \times 0.998$

$= {0.198 \over 0.198 + 0.998}$

$= 0.1655......$

즉, 오직 16.6% 정도 만이 양성 반응이 나왔다고 해도 실제로 질병에 걸렸을 확률이다.
만약 2번 3번 검사를 반복해서 양성이 나왔을 경우 확률은 높아지게 된다.
16.6%로 업데이트 하여 계산을 해보자.

$P(User|+)={0.99 \times 0.166 \over 0.99 \times 0.166 + 0.01 \times 0.834}$

$= {0.16434 \over 0.16434 + 0.00834}$

$= 0.9517......$

2번째 결과도 양성이 나왔을 경우 95.2%로 확률이 갱신되었다.
다음과 같이 사전확률을 통해 갱신된 사후확률을 도출하는 것이 베이즈 정리이다.