1. t검증의 기본 개념 및 절차

z분포와 t분포

평균에 대한 통계적 가설검증 시,

• 모집단의 표준편차를 알고 있으면 원래 배운 $z$분포를 쓰면 되지만,
  현실적으로 모집단의 정보는 모르는 경우가 더 많음.
  ↓
• 모집단 분산($σ^2$) 모르는 경우, 추정치로 표본 분산($S^2$) 사용하면 됨.
  (※ 이때의 $S^2$은 과소추정을 막기 위해 N이 아니라 (N-1)로 나눠줘야 함)
  ↓
• 그런데 N이 작은 경우 (N<30), 좌우대칭이긴 한데 $z$분포보다 표준오차가 더 크게 나옴.
  ➡️ 이 분포가 바로 $t$분포 !!
  

t분포의 개념

모집단의 분산을 모르거나, N<30 이면, 표본평균 $\bar{Y}$가 $t$분포를 이루게 된다.

• 평균 = 0 · · · · · · · · · · · · · z분포와 동일
• 표준편차 = $S \over \sqrt n$ · · · · · · · · z분포보다 더 큼
  
• 자유도 (df = N-1) : $t$분포의 모수
  • $t$라는 통계량 자체가 이미 $z$값과 유사한 성질을 갖고 있음. 그런데 이 $t$값의 분포는 자유도에 따라 달라짐. 그래서 $t$분포의 핵심은 자유도가 됨.
  • 자유도가 ∞이면 $z$분포와 동일해지며, 30 이상만 돼도 $z$분포에 근사할 수 있음.
    ↪ 그래서 현실적으로 (모집단 분산 아는 경우 적으니) 대부분 $t$검증 실시!

t검증의 절차

• 기본 가설 검증의 절차와 동일한데, 상정하는 표집분포가 $t$분포일 뿐!
  ① 영가설 설정 (등가설 or 부등가설)
  ② 표본 데이터에 대한 기술통계 분석 (with Graph)
  ③ 표본 평균의 표집분포 상정 ("$\bar{Y}$가 자유도 ~인 t분포를 따른다")
  ④ 내가 구한 표본평균을 t값으로 변환 & 분포상 위치 확인
  ⑤ 유의확률(p값)과, 미리 정해둔 유의수준(α)을 비교하여 영가설 기각여부 결정!!
  • p > α : 영가설 기각 불가능 / p < α : 영가설 기각 가능
    

2. 두 종속표본 t검증

독립표본과 종속표본

• 독립표본
  : 각 표본이 서로 다른 피험자들로 구성된 경우
  ex) 주로 처치군 vs 대조군 있는 약물 실험 등
• 종속표본
  : 두 표본이 동일한 피험자들로 구성되거나, 쌍으로 묶을 수 있는 피험자들로 구성된 경우
  ex) 한 사람을 두 번 반복 측정하기, 부부를 함께 표집하기 등
  

Q1. 패널연구에서 동일한 학생들을 1차 조사하고 5년 뒤에 다시 조사했다면, 이 경우는 (독립표본/종속표본) 이다.

두 종속표본 t검증

"두 표본의 평균이 같은가?" (ex. "실험 전 간수치와 실험 후 간수치가 다른가?")

• 검증 논리
  : 각 pair의 차이점수($\bar{D}$) 로 치환하여 가설 검증을 진행
  → 그래서 사례 수= 전체 피험자수(x) 묶은 pair의 수(o)

• 검증 절차 & 사례
  

3. 두 독립표본 t검증

독립표본 t검증의 기본가정

1. 독립성 가정
   : 두 표본이 서로 독립이어야 함. → 피험자 무선할당이 필요!
   ("가장 취약한 가정이니, 확실하게 체크하고 넘어가야 합니다")
2. 정규성 가정
   : 두 모집단 모두에서 관심변수가 정규분포를 이뤄야 함.
3. 등분산성 가정⭐
   : 두 모집단에서 관심변수의 분산이 서로 동일해야 함.
   ➡️ Levene test를 통해서 확인 (Levene test의 영가설은 '$(σ_1)^2=(σ_2)^2$ ' 으로 설정)
   • 성립 O : 두 분산을 '통합분산'으로 합치고, 일반적인 t검증 사용!
   • 성립 X : (통합분산 사용불가) Welch의 t검증을 사용!

두 독립표본 t검증

"두 표본의 평균이 같은가?" (ex. "약 먹은 집단과 먹지 않은 집단의 면역력이 다른가?")

• 검증 논리
  : 이번에도 차이점수($\bar{Y_1}-\bar{Y_2}$) 로 치환하여 가설 검증 진행
  ※ 근데 종속표본보다 자유도와 표준오차가 좀 더 복잡해짐..!

• 검증 절차 & 사례
  : 다 똑같은데, "가정 확인" 단계가 추가됨!⭐
  

• ➕ 등분산성 위배하는 사례
  

Q2. 두 독립표본 t검증에서 기본가정인 등분산성이 성립하지 않을 경우, 영가설은 기각할 수 없게 된다. (O/X)

💯퀴즈 정답💯

A1. 종속표본

A2. X

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