통계 기초(2) - 변이와 분포 측정

◾범위

• 대표값이 모두 같을 경우 데이터를 구별하기 위해 범위 사용
• 평균과 분포를 확인해야 한다.
  • player1

    points scored per game	7	8	9	10	11	12	13
    frequency	1	1	2	2	2	1	1

  • player2

    points scored per game	7	9	10	11	13
    frequency	1	2	4	2	1

  • player3

    points scored per game	3	6	7	10	11	13	30
    frequency	2	1	2	3	1	1	1

  • 평균, 중앙값, 최빈값 : 모두 10
  • 범위 측정 : 하한(lower bound)과 상한(upper bound)의 간격
    • player1 : 7 ~ 13
    • player2 : 7 ~ 13
    • player3 : 3 ~ 30

1. 사분위

• 범위만으로 비교하기 어려울 수 있다. (Outlier)
• Outlier를 제외하고 데이터를 판단할 필요가 있다.
• 히스토그래의 데이터를 개수로 4등분하여 각 지점을 Q1, Q2, Q3라고 하며 Q1 ~ Q3을 작은 범위로 채택
  • A |Q1| b |Q2| C |Q3| D
  • Q1 ~ Q3 범위 : mini range
  • Q1 : Lower quartile
  • Q2 : Median
  • Q3 : Upper quartile
  • 사분 범위(mini range, Interquartile range IQR) : Q3 - Q1
• 사분범위로 이상치를 자른다는 것은 이상치에 의해 데이터의 특성이 왜곡되는 현상의 배제를 말한다.
• player3 사용
  • 3 3 6 7 7 10 10 10 11 13 30
  • range = 27, lower quartile = 6, median = 10, upper quartile = 11
  • IQR = q3 - q1 = 11 - 6 = 5

2. 십분위, 백분위

• 십분위수(Deciles) : 데이터를 개수로 10등분하여 양끝을 없애고 나머지를 작은 범위로 채택
• 백분위수(Percentiles) : 데이터를 개수로 100등분, 아래 기호를 사용한다.
  • $P_k = k\%$
  • 백분위수는 어떤 값이 다른 값에 비해 얼마나 높은지 확인할 때 사용

3. BoxPlot(박스플랏)

• 사분위를 잘 표현하는 시각화 도구
• player3 사용
  • 3 3 6 7 7 10 10 10 11 13 30
  • 박스 : IQR
    

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◾분산과 표준편차

• 어떤 선수를 선택할 것인가
  • 시합 당일 감독의 기대 범위 안에서 성적을 낼 수 있는 선수
  • 각 데이터에 대한 평균으로부터의 거리를 계산할 필요
• 평균거리 계산
  • 1, 2, 9의 평균 : 4
  • 편차 : 3, 2, -5 => 제곱하여 더한다.
  • 편차의 제곱의 평균(분산) : (9 + 4 + 25) / 3 = 12.67
• 분산 : 관측값에서 평균을 뺀 값을 제곱하고, 그것을 모두 더한 후 전체 개수로 나눠서 구한다. 즉, 차이값의 제곱의 평균이다
  • $Variance = {\sum(x - \mu)^2 \over n}$
  • $Variance = {\sum {x^2} \over n} - \mu ^2$
• 표준편차 : 분산을 제곱근한 것, 분산보다 보다 직관성을 유지하기 위한 도구
  • sqrt(Variance)
  • $\sigma^2 = Variance$
  • $\sigma = \sqrt{Variance}$

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◾표준점수

• 데이터 집합 사이에서 비교를 수행할 때 표준점수 Standard Score 사용
  • 이 과정을 표준화 라고 한다.
  • $Z = {{x - \mu} \over {\sigma}}$