문제

  • n개의 점(x, y로 나타냅니다.)으로 이루어진 다각형의 면적을 구하세요
  • n (1 ≤ n ≤ 1만) 정점의 수 1만 이하
  • 좌표의 크기 10만이하
  • 시간 제한 2초
  • 문제 링크

접근 과정

1. 다각형의 면적?, CCW

CCW(벡터의 외적)은 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이를 계산합니다.

  • 만약 오목한 부분이 있다면?
    그 부분에 대해서는 CCW 결과가 부호가 반대로 더해집니다.

CCW만 할 수 있으면 풀 수 있는 문제입니다만, 주의해야할 부분이 2가지 있습니다.

2. 자료형 long long int

좌표의 범위는 10만으로 정수 범위 이내입니다.
단, CCW를 계산하는 과정에서 정수범위를 넘어갈 수 있습니다. 또한, 면적 역시 초과할 수 있습니다.
이 때문에 저는 long long을 사용했습니다.

c에서는 long long으로 입력받아도 시간차이가 크지 않습니다만, 다른 언어에서는 클 수 있습니다.
이때문에 계산과정에서 upcasting을 해줘야합니다.

// upcasting 예시
long long result = (long long)(a * b);

3. 소수점 계산

저는 이 부분에서 많이 틀렸습니다.
생각해봅시다.

  • 1) 2로 나누었을때 나머지가 0일때는 짝수입니다.
  • 2) 2로 나누었을때 나머지가 0이 아닌 경우, 나머지는 무엇입니까?

반드시 0.5가 나옵니다. 홀수를 나눴기 때문에 나머지는 반드시 0.5

4. 시간 복잡도 계산

O(n) n개의 좌표에 대해 CCW 수행, n이 1만 이기 때문에 시간안에 충분히 풀 수 있습니다.

코드

1. C++

#include <iostream>
#define lld long long int
#define max_int 10001

using namespace std;

/*
 시간 복잡도: O(n)
 공간 복잡도: O(n)
 사용한 알고리즘: CCW
 사용한 자료구조: 배열
*/

int n;
lld result;

// 점의 좌표 x, y를 받을 구조체 정의
// 좌표는 int범위이지만, 계산 과정중 int범위를 넘어갈 수 있기 때문에 long long int를 사용했습니다.
struct info{
    lld x, y;
};

// point 배열에는 다각형의 좌표를 저장합니다.
// origin에는 다각형의 가장 첫 좌표를 저장합니다.
info point[max_int], origin;

// CCW 계산
// ccw(즉, 벡터의 외적)의 결과는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적입니다.
lld ccw(info r, info p, info q){
    lld first = (p.x - r.x) * (q.y - r.y);
    lld second = (p.y - r.y) * (q.x - r.x);
    lld result = first - second;

    return result;
}

int main(){
    // 1. 입력
    scanf("%d", &n);

    // 배열에 좌표를 순서대로 입력받습니다.
    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%lld %lld", &point[i].x, &point[i].y);
    }

    // 가장 첫번째 입력받은 점이 기준입니다.
    // 이 점을 기준으로 벡터의 외적을 수행합니다.
    origin = point[1];

    // 2. ccw 계산
    // 점을 순서대로 순회하면서 ccw 결과를 더해줍니다.
    for(int i=2; i<=n-1; i++){
        lld ccw_result = ccw(origin, point[i], point[i+1]);
        result += ccw_result;
    }

    // 3. 결과
    // ccw 결과가 음수일 수도 있습니다. 이때는 양수로 만들어줍니다.
    if(result < 0) result *= -1;

    // ccw의 결과는 평행사변형의 면적이기 때문에 절반으로 나눠서 삼각형의 면적으로 바꿔주었습니다.
    printf("%lld.", result / 2);

    // 제일 힘들었던 부분
    // 2로 나누었을때 나머지가 있다는 것은 무조건 소수점 첫번째 자리가 5입니다. 두번째 자리는 없습니다.
    if(result % 2 == 0) printf("0\n");
    else printf("5\n");
}