[Differential Geometry] 01. What is manifold?

Manifold $M$의 정의는 다음과 같다.

A second countable Hausdorff space that is locally homeomorphic to Euclidean space

각각의 정의를 살펴보도록 하자.

Second Countable

어떤 topological space $T$가 second countable하다는 말은 그 space가 countable base $U=\{ U_{i} \}_{i=1}^{\infty}$를 가지는 것이다.
즉, $T$의 임의의 open subset $T'$이 $U$의 subfamily의 union이라는 말과 같다.

Hausdorff space

어떤 topological space $T$가 Hausdorff space ($T_{2}$ space)라는 것은 $T$의 all distinct point가 pairwise neighbourhood-separable이라는 것을 뜻한다.
즉, 임의의 $x \ne y \in T$에 대해, $x,y$의 neighbour $U,V$가 disjoint 라는 뜻이다.

locally homeomorphic

어떤 두 topological space $X,Y$사이의 function $f:X \to Y$가 homeomorphic함은 $f$가 bijective, continuous, $f^{-1}$이 continuous임과 같다.
즉, locally homeomorphic to euclidian space는 국소적으로 Euclidian이라는 뜻이다.

이때 이 $f$가 differentiable하면 $M$을 differential manifold, $f$가 holonomic(복소미분가능)하면 Complex manifold라고 한다.
(일반적으로 A manifold는 $f$가 A 성질을 가지고 있다 보면 된다.)