칸아카데미 선형대수 5. 벡터의 내적과 외적

벡터 사이의 각 정의하기(angle between vector)

증명 : 외적과 각의 사인값 사이의 관계

벡터 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때, 두 벡터$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$의 외적의 (결과 벡터의) 크기를 구하는 공식은 $||\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|| = ||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow{b}||\sin\theta$ 이다.

벡터$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$의 내적은 $\cos\theta$를 사용하고 외적일 때는 $\sin\theta$를 사용하는데 왜 그런지 증명한다. 이때 $||\overrightarrow{x}||$는 증명을 위해 임의의 벡터이다.

• $||\overrightarrow{a}|| ||\overrightarrow{b}||\cos\theta = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_3 + a_3b_3$은 왜 이렇게 나오는 것인가???(⛔벡터a,b의 내적 증명 다시 확인해 볼 것)

$||\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}||$와 $||\overrightarrow{a}||^2||\overrightarrow{b}||^2\cos^2\theta$를 더함으로서 벡터 $a$와 벡터$b$의 외적인 $||\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}||$를 증명할 수 있다.

내적과 외적의 비교

	내적(內積, inner product)	외적(外積, outer product)
표기	$\cdot$ (dot)	$\times$ (cross)
공식	$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \mid\mid\overrightarrow{a}\mid\mid \mid\mid\overrightarrow{b}\mid\mid \cos\theta$	$\mid\mid\overrightarrow{a} \times\overrightarrow{b}\mid\mid =\mid\mid\overrightarrow{a}\mid\mid\mid\mid\overrightarrow{b}\mid\mid \sin\theta$
의미	두 벡터 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$가 얼마나 같은 방향을 하고 있는가?	두 벡터 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$가 얼마나 수직인가?를 확인
결과값	Scalar(스칼라)	Vector(벡터)
$\theta = 0$일 태	$\mid\mid\overrightarrow{a}\mid\mid\mid\mid\overrightarrow{b}\mid\mid$	0
$\theta = 90$ 일 때	0	$\mid\mid\overrightarrow{a}\mid\mid\mid\mid\overrightarrow{b}\mid\mid$

📌 참고하기

sin, cos 그래프	삼각함수 공식

벡터의 삼중적 확장

$\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{b}(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - \overrightarrow{c}(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$ 증명하기
⇨ 즉, 세개의 3차워 벡터의 외적을 내적으로 변환하는 방법

• 행렬식 Sarrus(사루스) 전개 방법(3차 행렬까지만 가능하다)
  

평면방정식의 법선벡터

$\overrightarrow{n}$ 은 법선벡터

점과 평면사이의 거리

평면 사이의 거리

평면 사이의 법선을 구하기 위해 두 벡터의 외적을 구한다.