최소 공통 조상(LCA) 문제는 두 노드의 공통된 조상 중에서 가장 가까운 조상을 찾는 문제다.
import sys
input = sys.stdin.readline
sys.setrecursionlimit(int(1e5)) # 런타임 오류 피하기
n = int(input().rstrip())
parent = [0]*(n+1) # 부모 노드 정보
d = [0]*(n+1) # 각 노드까지의 깊이
c = [0]*(n+1) # 각 노드의 깊이가 계산되어있는지 여부
graph = [[] for _ in range(n+1)] # 그래프 정보
for _ in range(n-1):
a,b = map(int,input().rstrip().split())
graph[a].append(b)
graph[b].append(a)
# 루트 노드부터 시작하여 깊이(depth)를 구하는 함수
def dfs(x, depth):
c[x] = True
d[x] = depth
for y in graph[x]:
if c[y]: # 이미 깊이를 구했다면 넘기기
continue
parent[y] = x
dfs(y, depth+1)
# A와 B의 최소 공통 조상을 찾는 함수
def lca(a,b):
# 먼저 깊이(depth)가 동일하도록
while d[a] != d[b]:
if d[a]> d[b]:
a = parent[a]
else:
b = parent[b]
# 노드가 같아지도록
while a !=b:
a = parent[a]
b = parent[b]
return a
dfs(1,0)
m = int(input().rstrip())
for i in range(m):
a,b = map(int, input().rstrip().split())
print(lca(a,b))
시간 복잡도
매 쿼리마다 부모 방향으로 거슬러 올라가기 위해 최악의 경우 O(N)의 시간 복잡도가 요구된다.
따라서 모든 쿼리를 처리할 때의 시간 복잡도는 O(NM)이다.
개선 방법
메모리를 조금 더 사용해 각 노드에 대해 번째 부모에 대한 정보를 기록하면 시간복잡도를 줄일 수 있다.
모든 노드에 대해 깊이(depth)와 번째 부모에 대한 정보를 계산한다.시간 복잡도
매 쿼리마다 부모를 거슬러 올라가기 위해 O(logN)의 복잡도가 필요하다.
따라서 모든 쿼리를 처리할 때 시간 복잡도는 O(MlogN)이다.
import sys
input = sys.stdin.readline
sys.setrecursionlimit(int(1e5)) # 런타임 오류 피하기
LOG = 21 # 2^20 = 1,000,000
n = int(input().rstrip())
parent =[[0]*LOG for _ in range(n+1)] # 부모 노드 정보
d = [0]*(n+1) # 각 노드까지의 깊이
c = [0]*(n+1) # 각 노드의 깊이가 계산되어있는지 여부
graph = [[] for _ in range(n+1)] # 그래프 정보
for _ in range(n-1):
a,b = map(int,input().rstrip().split())
graph[a].append(b)
graph[b].append(a)
# 루트 노드부터 시작하여 깊이(depth)를 구하는 함수
def dfs(x, depth):
c[x] = True
d[x] = depth
for y in graph[x]:
if c[y]: # 이미 깊이를 구했다면 넘기기
continue
parent[y][0] = x
dfs(y, depth+1)
# 전체 부모 관계를 설정하는 함수
def set_parent():
dfs(1,0)
for i in range(1, LOG):
for j in range(1,n+1):
parent[j][i] = parent[parent[j][i-1]][i-1]
# A와 B의 최소 공통 조상을 찾는 함수
def lca(a,b):
# b가 더 깊도록 설정
if d[a]>d[b]:
a,b = b,a
# 먼저 깊이(depth)가 동일하도록
for i in range(LOG-1,-1,-1):
if d[b]-d[a]>=(1<<i):
b = parent[b][i]
# 부모가 같아지도록
if a == b:
return a
for i in range(LOG-1,-1,-1):
# 조상을 향해 거슬러 올라가기
if parent[a][i] != parent[b][i]:
a = parent[a][i]
b = parent[b][i]
# 이후에 부모가 찾고자 하는 조상
return parent[a][0]
set_parent()
m = int(input().rstrip())
for i in range(m):
a,b = map(int, input().rstrip().split())
print(lca(a,b))