[TIL] 선형대수학 1장 벡터, 행렬, 행렬식

Hanna·2021년 10월 1일
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선형대수학

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1.1 벡터와 공간

  • 기저가 되기 위
  1. 어떤 벡터v\overrightarrow{v}라도 v=x1e1+...+xnen\overrightarrow{v} = x_{1}\overrightarrow{e_{1}} + ... +x_{n}\overrightarrow{e_{n}}라는 형태로 나타날 수 있음
  2. 나타내는 방법은 한 가지뿐
  • 차원
    차원 = 기저 벡터의 개수 = 좌표의 성분수

  • 무한 차원
    무한 수열과
    x=(x1,x2,x3,...)x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, ...)
    y=(y1,y2,y3,...)y = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, ...)
    수 c에 대해 생기는 새로운 무한 수열을
    u=(x1+y1,x2+y2,x3+y3,...)u = (x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, x_{3}+y_{3}, ...)
    v=(cx1,cx2,cx3,...)v = (cx_{1}, cx_{2}, cx_{3}, ...)
    u=x+yu=x+yv=cxv=cx로 나타내기로 하면 이런 무한 수열의 세계도 선형공간이라고 간주할 수 있음. 또한, '함수 전체'도 마찬가지로 무한 차원의 선형 공간이라 간주할 수 있음

1.2 행렬과 사상

nn차원 벡터 xxm×nm \times n 행렬 AA를 곱하면 mm차원 벡터 y=Axy = Ax가 얻어짐. 즉, 행렬 AA를 지정하면 벡터를 다른 벡터에 옮기는 사상이 결정됨. 사실 이것이야말로 행렬의 가장 중요한 기능.

  • 행렬 연산의 성질
    - (cA)x=c(Ax)=A(cx)(cA)x = c(Ax) = A(cx)
    • (A+B)x=Ax+Bx(A + B)x = Ax + Bx
    • A+B=B+AA + B = B + A
    • (A+B)+C=A+(B+C)(A + B) + C = A + (B + C)
    • (c+c)A=cA+cA(c + c')A = cA + c'A
    • (cc)A=c(cA)(cc')A = c(c'A)
    • A(B+C)=AB+ACA(B + C) = AB + AC
    • (A+B)C=AC+BC(A + B)C = AC + BC
    • (cA)B=c(AB)+A(cB)(cA)B = c(AB) + A(cB)
  • 행렬의 거듭제곱 = 사상의 반복
    - Aa+b=AaAbA^{a+b} = A^aA^b
    - (Aa)b=Aab(A^a)^b = A^{ab}
    • (A+B)2=A2+AB+BA+B2(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
    • (A+B)(AB)=A2AB+BAB2(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
    • (AB)2=ABAB(AB)^2 = ABAB
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