💡 정규분포함수 유도
일반적으로 정규분포함수는 두 가지 방식으로 유도된다. 1) 첫번째로 과녁 맞추기를 이용한 유도 2) 두번째로 이항분포를 이용한 유도이다.
먼저 과녁 맞추기를 통한 유도부터 보여주고자 한다. 과녁의 중심을 향해 우리가 다트를 던질 때 중심으로 갈 수록 그 확률밀도가 높을 것이고 멀어질 수록 밀도가 옅어질 것이다.(통상적인 정규분포를 생각해보기) 그리고 우리가 던지는 x축과 y축은 독립적이라고 가정하고 해당 식을 적분해준다.
해당 식을 정리하던 중에 분수함수 적분을 해야 하는 경우가 있다. 왼쪽 아래에 있는 식을 참고해 적분을 이어가보자.
여기서부터 식이 상당히 복잡해지는데 가장먼저 log형태로 나왔던 수식을 지수함수 형태로 만들어준다. 그리고 는 상수이므로 A로 두자. A와 C를 구해주기 이전에 이들의 부호부터 판별하고 넘어가는 것이 편하다. 부호를 확인하면 f(x) > 0 이므로 A는 양수이고 x가 커질수록 전체 값이 감소해야 하므로 c는 음수이다.
이때 로 두어 양수 k에 대한 식으로 교체해 식을 정리해준다. 최종적으로 구하고자 하는 것은 f(x)f(y)에 대한 적분이므로 이들의 곱으로 식을 만들어준다. 여기서 x와 y는 독립이라고 위에서 가정했으므로 식을 곱 형태로 만들어줄 수 있다.
이를 극좌표계로 교체해주며, 안의 수식부터 정리해준다. 정리에서 지수함수에 대한 적분이 사용되는데 왼쪽 모서리의 정리를 참고하자. 이들을 통해 정리하면 식은 형태가 나오게 되고 k에 대한 수식으로 정리해줄 수 있다.
마지막으로 k를 구하는 과정으로 수식이 마무리가 된다. 여기서 k를 구하기위해 이번에는 표준편차를 구하는 식을 이용한다. 여기서 부분적분이 이용되는데 부분적분은 아래 링크를 참고하자
최종적으로 수식을 정리하면 우리가 기존에 알고 있던 정규분포함수의 형태를 구할 수 있다.
✏️ 한번에 보기
참고 : https://hsm-edu.tistory.com/27?category=741767
https://hsm-edu.tistory.com/28?category=741767
