[ TIL / 통계 기초부터 다지기] 중심극한 정리 #2. 정규분포의 적률생성 함수

0

💡 정규분포와 적률생성함수

중심극한정리로 나아가기 위해서는 정규분포의 적률생성함수와 표본평균의 분포의 적률생성함수가 동일함을 보이면 된다. 그렇게 되면 두 분포가 동일함을 보일 수 있기 때문이다.

이에 대한 내용이 궁금하면 이전 포스트를 참고

정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

이를 통해 정규분포의 적률생성함수를 구할 수 있다.

그렇게 구한 적률생성함수를 정리하기 위해 먼저 지수항(1)부터 정리한다. 여기서 한 가지 트릭을 사용하는데 동일한 수식을 더하고 빼는 것이다. 이를 통해 식이 아래와 같이 정리된다.

최종적으로 정리하면 아래와 같은 식이 된다.

즉 지수 항이 2μt+σ2t22(xμσ2t)22σ2\frac{2\mu t + \sigma^2 t^2}{2} - \frac{(x-\mu-\sigma^2t)^2}{2\sigma^2}으로 정리된다. 해당 식을 원래 항에 대입해주면 아래와 같아진다.

전개를 하던 중

식은 x와 관련되어 있지 않으므로(x에 대한 확률변수이므로) 적분에서 앞으로 빼줄 수 있다.

이때 지수항을 정리하면 이와 같아진다.

형태를 자세히 보면 기존 정규분포에서 평균이 μ+σ2t\mu+\sigma^2t로 변화한형태인 것을 알 수 있다. 즉, 최종적으로 정리를 하면 아래와 같다.

✏️ 한번에 보기

참고) https://hsm-edu.tistory.com/25

profile
프리미어와 IDE만 있다면 무엇이든 만들 수 있어

0개의 댓글