중심극한정리로 나아가기 위해서는 정규분포의 적률생성함수와 표본평균의 분포의 적률생성함수가 동일함을 보이면 된다. 그렇게 되면 두 분포가 동일함을 보일 수 있기 때문이다.
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정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.
이를 통해 정규분포의 적률생성함수를 구할 수 있다.
그렇게 구한 적률생성함수를 정리하기 위해 먼저 지수항(1)부터 정리한다. 여기서 한 가지 트릭을 사용하는데 동일한 수식을 더하고 빼는 것이다. 이를 통해 식이 아래와 같이 정리된다.
최종적으로 정리하면 아래와 같은 식이 된다.
즉 지수 항이 으로 정리된다. 해당 식을 원래 항에 대입해주면 아래와 같아진다.
전개를 하던 중
식은 x와 관련되어 있지 않으므로(x에 대한 확률변수이므로) 적분에서 앞으로 빼줄 수 있다.
이때 지수항을 정리하면 이와 같아진다.
형태를 자세히 보면 기존 정규분포에서 평균이 로 변화한형태인 것을 알 수 있다. 즉, 최종적으로 정리를 하면 아래와 같다.