[ TIL / 통계 기초부터 다지기] 테일러 급수

💡 중심극한 정리로 나아가기 위한 테일러 급수 정리

중심 극한 정리는 아래와 같다.

모집단의 분포와 상관 없이 표본의 크기 n이 커질수록 표본 평균 $\bar{X}$의 분포가 정규분포와 가까워진다.

이를 증명하기 위해서는 먼저 테일러급수에 대해서 알아야 한다. 테일러 급수는 아래와 같다.

즉, 어떤 함수든지 다항함수로 교체해줄 수 있는 방식이다. 이를 증명하기 위해서는 아래와 같은 과정이 필요하다.

$f(t)'$에 대한 적분은 f(x)와 f(a)부분으로 나눌 수 있으며 이를 우변으로 정리해준다. 그리고 여기서 부분 적분법을 사용하는데 $g(x) = x$ 그리고 $f(x) = f'(t)$라고 생각했을 때의 부정적분을 만들어준다.

여기서 적분상수 c에는 어떤 수가 대입되어도 상관이 없으니 이를 x로 교체해주어 t-x로 만들어준다.

이를 정리해주어 지속적으로 반복하면 분모에는 n!이 들어가게 되고 분자에는 f(x)를 n번 미분한 $f^n(x)$이 들어가게 된다. 이를 급수형태로 교체하게 되면 아래와 같아진다.

여기서 a가 0일 때 즉, $f^{(n)}(0)$를 구하고자 할 때의 급수를 매클로린 급수라고 한다.

이러한 테일러 급수는 지수함수에서 상당히 유용하게 사용되는데 지수함수를 아래와 같이 다항함수로 표현할 수 있기 때문이다.

✏️ 한번에 보기

참고 : https://www.youtube.com/watch?v=P5PuvGLm1i0&list=PLmljWRabIwWBxh8V6eIODIz--B802mdLt&index=10