Exchangeability

Soyoung Cho·2022년 10월 24일
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인과추론에서 exchangeability (교환가능성)

Settings

  • treatment AA와 outcome YY 사이의 관계에 관심이 있는 경우
  • AAYY는 모두 binary라고 가정
    • A=0A=0이면 treatment를 받지 않은 경우(unexposed), A=1A = 1이면 treatment를 받은 경우(exposed)
    • Y=0Y=0이면 no disease, Y=1Y = 1이면 disease

Preliminaries

  • YaY^a: (potential outcome) A=aA=a라는 treatemnt를 받은 subject의 outcome
  • 일반적으로 하나의 subject에 대해 Y1Y^1Y0Y^0값 중 하나의 값만을 얻을 수 있음. (아래 표 참고 - consistent assumption)
IDAY1Y^1Y0Y^0
111?
20?0
  • 여기서 Y=0A=1Y = 0|A = 1Y=1A=0Y = 1 | A = 0는 실제로는 관찰할 수 없는 결과로 counterfactual이라고 함
  • outcome Y=Y11(A=1)+Y01(A=0)Y = Y^1 1_{(A = 1)} + Y^0 1_{(A = 0)}로 나타낼 수 있음

Exchangeability

  • AA가 randomization된 경우 (e.g.e.g. 동전을 던져 treatment의 할당 여부를 결정) association이 causation이 될 수 있음
  • 아래는 이어지는 내용은 모두 AA가 randomized trail인 경우를 가정
  • exposed(A=1)(A=1) and unexposed(A=0)(A=0) are guaranteed to be exchangeable:
    (Y0,Y1)A(Y^0, Y^1) \perp A
treatment를 받은 경우와 받지 않은 경우 모두 상태는 이미 정해져 있다고 생각하면 potential outcome과 treatment는 independent함. treatment여부에 따라 관찰할 수 있는 데이터가 있을 것이고 A=0일 때 관측한 값이 Y0과 같을 것이라는 가정이 consistent assumption임.
  • exposed and unexposed are exchangable if Y1Y^1 and Y0Y^0 are (jointly) independent of AA implying that
    P(Y=1A=1)=P(Y1=1A=1)by Y=Y11(A=1)+Y01(A=0)=P(Y1=1)   by  randomized=P(Y1=1A=0)by AY1P(Y1=1A=1)=P(Y1=1A=0)=P(Y1=1)\begin{aligned} P(Y = 1|A = 1) &= P(Y^1 = 1|A = 1) \qquad \cdots \qquad by ~ Y = Y^1 1_{(A = 1)} + Y^0 1_{(A = 0)}\\ &= P(Y^1 = 1) \qquad \qquad~~~ \cdots \qquad by ~ \text{ randomized}\\ &= P(Y^1 = 1|A = 0) \qquad \cdots \qquad by ~ A \perp Y^1 \\ &\Rightarrow P(Y^1 = 1|A = 1) = P(Y^1 = 1|A = 0) = P(Y^1 = 1) \end{aligned}
    and
    P(Y0=1A=1)=P(Y0=1A=0)=P(Y0=1).P(Y^0 = 1|A = 1) = P(Y^0 = 1|A = 0) = P(Y^0 = 1).
  • 하지만 비용 및 윤리적 등 여러 이유때문에 랜덤화 실험을 통한 관찰 데이터를 얻을 수 없으며, 관찰데이터만으로는 exposed와 unexposed가 exchangeable한지 여부를 판단할 수 없음
  • 때문에 conditional randomization, adjustments 등의 방법을 이용할 수 있음

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