DFT는 주파수 성분의 계수를 계산하는 연산이다.

예제

위와 같이 x(n) 이 주어졌을 때, x(n) 에 대한 128-point DFT 의 결과는 무엇일까?

이는 아이디어를 테스트하는 것으로 정확한 계수를 모르더라도 그래프의 모양을 예상할 수 있어야 한다.

-> DFT의 의미를 묻는 질문이다.

DFT의 의미

DFT와 IDFT 식은 아래와 같다.

DFT는 (그리고 사실 FT 라는 친구들의 의미가 모두) time domain 의 신호를 frequency domain 으로 변환하는 연산이다.

그리고 DFT는 time domain 에 대해서도 이산화되어 있고 frequency domain 에 대해서도 이산화되어있으니 아래와 같이 설명할 수 있다.

-> iDFT는 time-domain 의 신호 x(n) 을 특정한 주파수 (복소지수함수 성분) 에 상수를 곱한 값으로 분해하여 나타내는 연산이다.

그리고 이때 X(k) 가 특정 주파수에서의 계수가 된다.

DFT 의 경우 주파수에 대해 이산화되어있으므로, k번째 sample 에 해당하는 주파수에 대한 계수 값이 X(k) 라고 할 수 있다.

정현파와 복소지수함수

정현파와 복소지수함수는 표현 방법이 다를 뿐 같은 대상을 칭한다.

앞서 문제에서 제시된 sin 함수 역시 오일러 공식에 의해 복소지수함수로 표현이 가능하다.

$sin(x) = \frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2}$

그러므로 예제의 식을 다시 쓰면

$x(n) = sin(\frac{\pi}{4}n) = \frac{1}{2}(e^{j\frac{\pi}{4}n} - e^{-j\frac{\pi}{4}n})$

예제로 돌아가서

DFT 공식에 주어진 조건을 대입하면

그리고 이 식은 우리가 위에서 복소지수함수로 표현한 x(n) 과 같다.

k가 0부터 127까지 돌아가며 한 주기 (2pi) 내에서의 주파수 성분을 갖는다고 생각하면 위의 sin 함수에 대한 복소지수함수 표현으로부터 주파수 성분이 2개라는 것을 생각할 수 있다. 그 2개에 대응하는 값을 구하면 된다.

첫번째로는 주파수 상으로 pi/4 일 때 갖고 다음에는 -pi/4일 때 값을 가질텐데 DFT 결과는 0~2pi 라고 해석하므로 뒤에꺼는 2pi - pi/4 = 7/4 pi 라고 두면 된다.

분모를 조정하면 각각 32/128 pi 그리고 224/128 pi 에 해당한다.

이때 k값은 k=16일때, k=112일때에 해당한다.

그리고 X(k)는 1/128  과 X(k) 의 곱이  1/2 이어야 하니까 각각의 항에 대해 X(16) = 64 그리고 X(112) = -64이다.

이렇게 해서 복잡하게 계산하지 않고 바로 구할 수 있다.

sin 파가 복소지수함수의 주파수 성분을 양, 음 이렇게 2개 가지니까 직관적으로는 당연한데 구체적으로 이렇게 한번 구해봤다.

마치며

DFT는 주파수 성분의 계수를 계산하는 연산이다.

이렇게 말했는데 사실 정확히 말하면 X(k) 는 계수가 아니고 X(k)/N 이 연산이다. 위의 식에서 보면 사인파에 대한 계수는 1/2, -1/2 이었습니다.