공식

삼각형 ABC의 세 각을 A, B, C라고 하고 그 대변을 a, b, c라 할 때

a를 구할 때 b와 cosC를 곱한 값에 c와 cosB를 곱한 값을 더해주는 방식이다.

증명

1. 예각일 때

C가 예각일 때의 증명

A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 해보자.

삼각형 ABH에서

삼각형 ACH에서

결국 변 CH의 길이는 bcosC이고 변 BH의 길이는 ccosB이므로

이 식이 성립하게 된다.

2. 직각일 때

C가 직각일 때의 증명

C가 직각일 경우에는 보조선을 그을 필요가 없다.

a는 변 BC이고, 변 BC는 ccosB이고 bcosC는 0이므로

이 식이 성립하게 된다.

3. 둔각일 때

C가 둔각일 때의 증명

A에서 변 BC로 내린 수선의 발을 H라고 해보자.

BH와 CH의 길이를 구해보자

삼각형 ABH에서

삼각형 ACH에서

변 BH는 ccosB이고, 변 CH는 -bcosC이므로

식이 성립하게 된다.

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$cos(180 -C) = -cosC$

엄밀한 증명을 위해선 위 식이 성립함 또한 증명해야 한다.

코사인 그래프를 봐보자.

일반각에서의 $180\degree$는 $\pi$이다. 그러니 그래프를 0에서 $\pi$까지만 봐보자.

해당 그래프의 중간 지점에서 보면 기함수의 형태를 띈다.

양쪽은 원점 대칭이 되므로 180 - C의 cos값은 C의 값에 음수를 붙인 값이 맞다.