Quantum cryptography쪽으로 연구를 하고 있지는 않지만 quantum computing에 대한 강의를 수강하고 재미있는 부분을 많이 알게 되어서 정리해본다. 본래 quantum computing을 위해서는 linear algebra는 기본이고, qubit를 표현하기 위한 Dirac notation, complex number, Fourier transformation 등을 이해해야 한다. 수학과나 물리학과 등 타학과의 학부생이면 quantum computing 책을 보면 금방 이해하겠지만, 나는 수학이나 물리를 깊이 공부하지 않아서 이해가 안 되는 부분이 너무나도 많아 quantum computing을 깊이 이해하지는 못 했다. 그래서 quantum computing에 대한 심도있는 이해를 바탕으로 관련 내용을 여기에 정리하지는 못 한다.

하지만 quantum의 독특한 성질을 이용한 quantum cryptography의 몇 가지 application을 이해하는데는 복잡한 수식까지는 필요없다. 간단한 linear algebra, probability만 가지고 내가 공부해본 quantum cryptography application을 몇 개의 포스트에 걸쳐 정리해보고자 한다.

가장 먼저, quantum mechanics와 관련하여 유명한 실험으로 시작한다. Stern과 Gerlach라는 두 학자가 수행한 실험이다. 두 사람의 이름을 따 Stern-Gerlach experiment라고 한다.

1. Experiment Setup

1.1. 실험 목표

은 원자(silver atoms)를 자기장에 통과시켰을 때 이 은 원자들이 도달하는 위치의 분포를 보고자한 실험이다.

1.2. 실험 세팅

[그림 1. Stern-Gerlach Experiment. Source: [1]]

실험은 그림 1과 같이 세팅되어 수행되었다. (1)에서 은 원자 빔 (beam of silver atoms)(2)이 나와서 자기장(3)을 통과한다. 이때 자석 하나(여기서는 N극)는 뾰족한 모양을 갖고 있어서 N극에서 나오는 자기장의 세기가 약간 더 세다.

1.3. 예상

원자는 스핀을 갖고 있어 극성을 띈다. 원자의 한쪽은 N극, 다른 한쪽은 S극을 갖는다. 자석의 N극이 더 강한 상태이므로, 원자의 위쪽이 S극을 띈다면 해당 원자를 자기장에 통과시켰을 때 N극과의 인력에 의해 위로 편향될 것이고; 반대로 원자의 위쪽이 N극을 띈다면 해당 원자를 자기장에 통과시켰을 때 N극과의 척력에 의해 아래로 편향될 것이다.
그리고, N-S극 축의 각도에 따라 원자가 도달하는 위치가 (4)처럼 연속적으로 나올 것이다. 그림 2와 같은 모습을 예상해볼 수 있다.

[그림 2. N-S극 축에 따른 은 원자의 분포 예상]

2. Results

2.1. 측정

예상과는 달리, 실제 실험 결과 은 원자는 양 끝의 오직 두 점에만 도달하는 것이 확인되었다. 즉, 원자의 스핀은 양자화되어 있음이 확인되었다. 원자는 수직 방향으로 위쪽이 S극이거나 혹은 수직 방향으로 아랫쪽이 S극인 두 가지 종류만 존재하는 것이다.

[그림 3. 실험 후 실제 N-S극 축에 따른 은 원자의 분포]

2.2. 반복 측정 (동일 방향)

나중에 설명할 내용의 이해를 위해 이제부터는 S극의 자기장이 더 강한 상태를 예시로 한다.

이번엔 원자를 자기장에 통과시키는 횟수를 늘린다. 원자를 첫 번째 자기장에 통과시킨 뒤 나오는 원자를 곧바로 두 번째 자기장, 세 번째 자기장에 통과시키는 실험이다. 여기서 자기장의 방향은 첫 번째, 두 번째, 세 번째 모두 동일하다.
이 실험으로 관측된 은 원자는 처음 관측 결과에서 변하지 않았다. 예를 들어, 첫 번째 자기장을 통과해서 나온 원자들 중 위쪽이 N극인 원자들을 그대로 두 번째 자기장을 통과시켜도 위쪽이 N극인 상태였다. 세 번째, 네 번째 자기장을 통과시켜도 마찬가지였다.

[그림 4. 같은 자기장 방향으로 반복 측정]

2.3. 반복 측정 (수직 방향)

이번에는 원자가 통과하는 자기장의 방향을 수직으로 변화시킨다. 두 번째 자기장은 첫 번째 자기장에 수직하도록 만든다. 즉, 자석을 회전시킨다. 예를 들어, 첫 번째 자기장을 통과시켜 나온 원자들 중 N극이 위로 향한 원자들을 시계 방향으로 90도 회전한 자석(두 번째 자석)에 통과시킨다. 그러면 절반은 왼쪽으로, 나머지 절반은 오른쪽으로 편향되어 나타난다. 이를 다시 본래 방향의 자기장(세 번째 자석)에 통과시킨 경우 놀랍게도 절반은 N극이 위로 향한 원자, 나머지 절반은 S극이 위로 향한 원자로 발견된다.

[그림 5. 수직인 자기장 방향으로 반복 측정]

3. Conclusion

Stern-Geralch 실험으로 원자의 스핀은 양자화되어 있음을 볼 수 있다. 또한, 같은 방향으로 스핀을 반복 측정하는 경우에는 처음 측정된 스핀의 방향이 절대 변화하지 않는다. 그러나 기존 측정 방향에 수직인 방향으로 스핀을 측정하는 경우에는 언제나 서로 반대 방향의 스핀을 갖는 원자들이 측정된다. 그리고 이때 두 가지 원자들의 비율은 각각 1/2이다. 즉, 수직인 방향으로 스핀을 측정하면 절반은 특정 방향의 스핀을 갖는 원자들이, 나머지 절반은 그와는 반대 방향의 스핀을 갖는 원자들이 관측된다.

이러한 특이한 성질을 cryptography에 적용할 수 있으며, 뒤에서 정리해볼 예정이다.

References

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment#/media/File:Stern-Gerlach_experiment_svg.svg
[2] Bernhardt, C. (2019). Quantum computing for everyone. Mit Press.