진법
- 컴퓨터에서는 전기 신호 ON/OFF 의 상태만 감지할 수 있어
2진법을 주로 사용한다. - 허나,
2진법만 사용하다보면 자리 수가 길어지는 경우가 있기 때문에8, 16진법도 사용한다.
| 진법 | 설명 |
|---|---|
| 2진법 | 0과 1 2가지 기호로 표현하는 수 체계 |
| 8진법 | 0~7의 8가지 기호로 표현하는 수 체계 |
| 16진법 | 0~F의 16가지 기호로 표현하는 수 체계 |
- 예시
| 10진법 | 2진법 | 8진법 | 16진법 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 17 | 1 0001 | 21 | 11 |
| 99 | 110 0011 | 143 | 63 |
보수 (Complement)
- 컴퓨터에서 양수를 음수로 변환시킬 때,
보수를 사용한다. (뺄셈 연산을 보수 처리 후, 덧셈 연산으로 한다.)
1진 보수: 해당 bit에서 가장 큰 표현값을 형성하는데 서로 보완 관계가 있는 두 수의 관계를1진 보수관계라고 한다.2진 보수: 최대 표현 자리 수를 형성하는데 서로 보완 관계가 있는 두 수의 관계를2진 보수관계라고 한다.- 예
1진 보수: A+B=9 일 때, (0, 8), (1, 7).. 등등이1진 보수관계2진 보수: A+B=10 일 때, (0, 10), (1, 9).. 등등이2진 보수관계
위 보수 개념을 2진법에 적용시켜보자.
- 예
1진 보수: A+B=1 일 때, (0, 1), (1, 0)2진 보수: A+B=10 일 때, (1, 1), (0, 10), (10, 0)
2진법의1진 보수의 경우 각 비트를 뒤집어주면 된다.2진법의2진 보수의 경우1진 보수에 +1를 해주면 된다.
정수형 표현
2진법 정수형 표현
2진법정수형 수를 표현하는 방법을 알아보자.
| s | d | d | ... | d | d |
|---|
- s 비트가 0일 때 양수, 1일 때 음수를 갖는다.
- 이렇게 되면 0의 값이 +0, -0으로 2가지 표현이 가능해지고, n개의 비트를 사용했을 때, 표현 범위는
-(2^(n-1)-1) ~ +(2^(n-1)-1)가 된다.
이 때, 2진 보수의 개념을 이용하면 0이 2가지 방법으로 표현되는 것을 해결할 수 있다.
4개 비트를 사용한다고 하자.
0001 + x = 0000 을 만족하는 x, 즉 -1을 구하고자 할 때, 2진 보수를 활용하면 된다.
2진 보수를 구하기 위해선 1진 보수를 구하고 +1 해주면 되므로 1진 보수를 먼저 구해보자.
1진 보수는 모든 비트 값을 뒤집어주면 되므로 1110가 된다.
따라서 0001의 2진 보수 x는 1111가 되고, 이것이 -1이다.
위와 같이 음수를 표현해주면 앞서 말한 0이 2가지 방법으로 표현되는 것을 해결할 수 있다.
더불어 수의 표현 범위는 -(2^(n-1)) ~ +(2^(n-1)-1)가 된다.
10진법 정수형 표현
- 때때로,
2진법정수형 데이터를 일일히10진법으로 변환하는 작업이 번거로워서10진법정수형 형태로 저장하는 경우도 있다.
Unpacked decimal
- 연산이 불가능하고 입출력에만 활용되는 표현 방식. (비수치 데이터)
- 표현 방식은 아래와 같다.
1 바이트로 10진법 하나 자릿수만 표현한다.
따라서, 비트는 아래처럼 형성된다.
| F D | F D | ... | F D | F D | S D |
|---|
(F: 1111, D: 11XX, S: 1100(+), 1101(-))
1 바이트로 10진법의 한자리 수를 표현하니 비트가 남는다. 따라서 F로 마지막 바이트를 제외하고 모든 바이트의 앞 비트로 채워준다.
D 비트로 수를 표현하는데, 이 또한 10까지 표현하는데 2개의 비트만 사용하면 되므로 D 비트는 11XX 형태가 될 것이다.
S 비트는 부호를 표현하는 비트다.
Packed decimal
- 연산이 가능하지만, 입출력은 불가능한 방식. (수치 데이터)
- 표현 방식은 아래와 같다.
1 바이트에 10진법 두 자리수를 표현한다. (BCD code 이용, BCD 코드는 밑에서 다룰 예정!)
| D D | D D | ... | D D | D D | D S |
|---|
(D: 11XX, S: 1100(+), 1101(-))
실수형 표현
- 실수형 표현엔 부동 소수점(Floating-point) 방법을 사용한다.
- 지수 연산을 사용하여 표현 범위를 크게 할 수 있다는 장점이 있다.
32비트 실수형의 경우
| 31 | 30 | 29 | ... | 23 | 22 | 21 | ... | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| s | e | e | ... | e | m | m | ... | m |
- 31번째 비트: 부호 비트 (0: +, 1: -)
- 30~23번째 비트(8개): 지수
- 22~0번째 비트(23개): 가수
64비트 실수형의 경우
| 63 | 62 | 61 | ... | 52 | 51 | 50 | ... | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| s | e | e | ... | e | m | m | ... | m |
- 63번째 비트: 부호 비트 (0: +, 1: -)
- 62~52번째 비트(11개): 지수
- 51~0번째 비트(52개): 가수
예를 들어 알아보자.
10진수 5.625를 실수형으로 표현해보자.
먼저, 2진수 고정 소수점 표현 방식으로 바꿔보면 101.101이 된다. 그 과정을 살펴보자.
정수부는 101이 되는 건 생략하고, 소수점을 이진수로 표현할 때는 *2연산을 했을 때, 정수부가 1이 되면 1을, 아니면 0을 채워나가면 된다.
- 0.625 * 2 = 1.25 => 1
- (1.25 - 1) * 2 = 0.5 => 0
- 0.5 * 2 = 1.0 => 1
101이 2진수의 실수부가 된다.
이제 고정 소수점 표현 방식의 2진수인 101.101을 지수형으로 바꿔주면 1.01101 * 2^2가 된다.
가수부는 1.01101에서 소수점 앞 1은 당연한거기 때문에 저장을 안하고 소수점 뒤의 01101 부분만 저장한다.
이제 지수부 2를 저장해야하는데, 지수부도 양/음 값을 판별해줘야 한다. (10진수 값이 1보다 작다면 음의 값을 갖기 때문)
이 때, 32비트 실수형이면 8비트로 지수부를 표현하고, 음/양을 구별하기 위해 바이어스값 127(2^7 - 1)을 더해준다. (만약 64비트 실수형이라면 11비트로 지수부를 포현하고 이 때 바이어스값은 1023이 된다.)
즉, 지수부 8비트가 127이면 0, 128이면 1을 뜻하게 된다. 따라서 위 예에서는 지수부가 2이기 떄문에 129, 1000 0001가 된다.
정리하면 10진수 101.101은 0 | 1000 0001 | 011 0100 0000 0000 0000 0000이 된다.
| 부호 | 지수부 | 가수부 |
|---|---|---|
| 0 | 1000 0001 | 011 0100 0000 0000 0000 0000 |
디지털 코드
BCD 코드 (Binary coded decimal code, 2진화 10진 코드)
| 10진수 | BCD 코드 | 10진수 | BCD 코드 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 10 | 0001 0000 |
| 1 | 0001 | 11 | 0001 0001 |
| 2 | 0010 | 12 | 0001 0010 |
| 3 | 0011 | 13 | 0001 0011 |
| 4 | 0100 | 14 | 0001 0100 |
| 5 | 0101 | 15 | 0001 0101 |
| 6 | 0110 | 16 | 0001 0110 |
| 7 | 0111 | 17 | 0001 0111 |
| 8 | 1000 | 18 | 0001 1000 |
| 9 | 1001 | 19 | 0001 1001 |
3초과 코드 (excess-3 코드)
- BCD 코드에 3을 더한 코드
- 초창기 통신 체계에서 사용했다고 한다.
- 신호가 안들어왔을 때와 0을 보냈을 때를 구분하기 위함.
| 10진수 | BCD 코드 | 3초과 코드 |
|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0011 |
| 1 | 0001 | 0100 |
| 2 | 0010 | 0101 |
| 3 | 0011 | 0110 |
| 4 | 0100 | 0111 |
| 5 | 0101 | 1000 |
| 6 | 0110 | 1001 |
| 7 | 0111 | 1010 |
| 8 | 1000 | 1011 |
| 9 | 1001 | 1100 |
- 굳이 3을 더한 이유는 (0, 9), (1, 8) ... 쌍으로 보수 관계가 성립하기 때문이다.
(0: 0011, 9: 1100 각 비트를 뒤집으면 보수, 1: 0100, 8: 1011, ...)
패리티 비트
- 옛날에 에러 검출을 위해 사용
- 비트가 뒤집힌 값으로 잘못 전송되었을 때, 탐지하기 위한 방법
- 1 비트가 짝수 개인지, 홀수 개인지 세어서 0, 1 비트를 추가로 사용했다고 한다.
- 패리티 비트의 다음 세대가 해시 코드라고 한다.
