[코딩테스트] 이진탐색

JY·2022년 7월 1일

이진 탐색 (Binary Search)

: 탐색 범위를 반으로 좁혀가며 빠르게 탐색하는 알고리즘

순차탐색 (Sequential Search)

: 리스트 안에 있는 특정한 데이터를 찾기 위해 앞에서부터 데이터를 하나씩 차례대로 확인하는 방법

보통 정렬되지 않은 리스트에서 데이터 찾아야할 때 사용
리스트 내에 데이터가 아무리 많아도 시간만 충분하다면 항상 원하는 원소를 찾을 수 있음
리스트의 데이터에 하나씩 방문하며 특정한 문자열과 같은지 검사 => 구현 간단
순차 탐색이 사용되는 예
-> 리스트에 특정 값의 원소가 있는지 확인할 때
-> 리스트 자료형에서 특정한 값을 가지는 원소의 개수를 세는 count() 메서드 이용할 때
데이터의 개수가 N개일 때 최대 N번의 비교 연산이 필요하므로 순차탐색의 최악의 경우 시간 복잡도는 $O(N)$

#순차 탐색 코드 구현
def sequential_search(n, target, array):
    for i in range(n): #각 원소를 하나씩 확인
        if array[i] == target:  #현재의 원소가 찾고자 하는 원소와 동일할 경우
            return i + 1  #현재의 위치 반환

print("생성할 원소 개수를 입력한 다음 한 칸 띄고 찾을 문자열을 입력하세요.")
input_data = input().split()
n = int(input_data[0])  #원소의 개수
target = input_data[1]  #찾고자 하는 문자열

print("앞서 적은 원소의 개수만큼 문자열을 입력하세요. 구분은 띄어쓰기 한 칸으로 합니다.")
array = input().split()

print(sequential_search(n, target, array))

<결과>
생성할 원소 개수를 입력한 다음 한 칸 띄고 찾을 문자열을 입력하세요.
5 dongbin
앞서 적은 원소의 개수만큼 문자열을 입력하세요. 구분은 띄어쓰기 한 칸으로 합니다.
hanul joggu dongbin taeil sangwook
3

이진탐색: 반으로 쪼개며 탐색

배열 내부의 데이터가 정렬되어 있어야만 사용 가능한 알고리즘
탐색 범위를 절반씩 좁혀가며 데이터를 탐색
위치를 나타내는 변수 3개 사용: 시작점, 끝점, 중간점
-> 찾으려는 데이터와 중간점 위치에 있는 데이터를 반복적으로 비교
한 번 확인할 때마다 확인하는 원소의 개수가 절반으로 줄어듦
-> 시간 복잡도: $O(logN)$

재귀함수 이용 코드

# 이진탐색 코드 (재귀함수)
def binary_search(array, target, start, end):
    if start > end:  #정렬 안되어있는 경우
        return None
    mid = (start + end) // 2
    if array[mid] == target:  #찾은 경우
        return mid  #중간점 인덱스 반환
    elif array[mid] > target: #중간점의 값보다 target이 작은 경우
        return binary_search(array, target, start, mid-1)  #왼쪽 확인
    else: #중간점의 값보다 target이 큰 경우
        return binary_search(array, target, mid+1, end) #오른쪽 확인

n, target = list(map(int, input().split())) #n:원소 개수, target: 찾고자 하는 문자열
array = list(map(int, input().split()))  #전체 원소 입력받기

result = binary_search(array, target, 0, n-1)  #이진탐색 수행 결과 출력
if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
    print(result+1)

반복문 이용 코드

# 이진탐색 코드 (반복문)
def binary_search(array, target, start, end):
    while start <= end:
        mid = (start + end) // 2
        if array[mid] == target:  #찾은 경우
            return mid  #중간점 인덱스 반환
        elif array[mid] > target: #중간점의 값보다 target이 작은 경우
            end = mid-1  #왼쪽 확인
        else: #중간점의 값보다 target이 큰 경우
            start = mid+1 #오른쪽 확인
    return None

n, target = list(map(int, input().split())) #n:원소 개수, target: 찾고자 하는 문자열
array = list(map(int, input().split()))  #전체 원소 입력받기

result = binary_search(array, target, 0, n-1)  #이진탐색 수행 결과 출력
if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
    print(result+1)

<결과>
10 7
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
4

<결과>
10 7
1 3 5 6 9 11 13 15 17 19
원소가 존재하지 않습니다.

트리 자료구조

노드와 노드의 연결로 표현 (노드란 정보의 단위)

트리는 부모 노드와 자식 노드의 관계로 표현

트리의 최상단 노드를 루트 노드

트리의 최하단 노드를 단말 노드

트리에서 일부를 떼어내도 트리 구조이며 이를 서브트리라 함

트리는 파일 시스템과 같이 계층적이고 정렬된 데이터 다루기 적합

이진탐색 트리

이진 탐색이 동작할 수 있도록 고안된, 효율적인 탐색이 가능한 자료구조

부모 노드보다 왼쪽 자식 노드가 작다.

부모 노드보다 오른쪽 자식 노드가 크다.
=> 왼쪽 자식 노드 < 부모 노드 < 오른쪽 자식 노드

빠르게 입력 받기

이진탐색 문제는 입력 데이터가 많거나, 탐색 범위가 매우 넓은 편
-> 입력 데이터 개수가 많은 문제에 input() 함수를 사용하면 동작 속도가 느려 시간 초과로 오답 판정 받을 수 있음.
=> 입력 데이터가 많은 문제는 sys 라이브러리의 readline() 함수 이용

#한 줄 입력받아 출력하는 코드
import sys
input_data = sys.stdin.readline().rstrip(). #하나의 문자열 데이터 입력받기

print(input_data) #입력받은 문자열 그대로 출력

sys 라이브러리 사용할 때, 한 줄 입력받고 나서 rstrip() 함수를 꼭 호출해야함.
readline()을 입력하면 입력 후 엔터가 줄 바꿈 기호로 입력되는데, 
이 공백 문자를 제거하기 위해 rstrip() 함수 사용해야함.

실전문제

Ex1) 부품 찾기

동빈이네 전자 매장에는 부품이 N개 있다. 각 부품은 정수 형태의 고유한 번호가 있다. 어느 날 손님이 M개 종류의 부품을 대량으로 구매하겠다며 당일 날 견적서를 요청했다. 동빈이는 때를 놓치지 않고 손님이 문의한 부품 M개 종류를 모두 확인해서 견적서를 작성해야 한다. 이 때 가게 안에 부품이 모두 있는지 확인하는 프로그램을 작성해보자.
손님이 요청한 부품 번호의 순서대로 부품을 확인해 부품이 있으면 yes를, 없으면 no를 출력한다. 구분은 공백으로 한다.

입력조건
- 첫째 줄에 정수 N이 주어진다. (1 $\leq$ N $\leq$ 1,000,000)
- 둘째 줄에는 공백으로 구분하여 N개의 정수가 주어진다. 이 때 정수는 1보다 크고 1,000,000 이하이다.
- 셋째 줄에는 정수 M이 주어진다.(1 $\leq$ M $\leq$ 100,000)
- 넷째 줄에는 공백으로 구분하여 M개의 정수가 주어진다. 이 때, 정수는 1보다 크고 1,000,000 이하이다.

출력조건
- 첫째 줄에 공백으로 구분하여 각 부품이 존재하면 yes를, 없으면 no를 출력한다.

sol 1) 다량의 데이터 검색은 이진 탐색 알고리즘 이용
-> N개의 부품을 번호 기준으로 정렬, 그 후 M개의 찾고자 하는 부품이 각각 매장에 존재하는지 검사 => 이 때, 매장의 부품들은 정렬이 되어있기 때문에 이진 탐색 가능
-> 이 때, 최악의 경우 시간 복잡도 $O((M+N) * logN)$

이진 탐색 이용 코드

# 이진 탐색 코드 구현 (반복문)
def binary_search(array, target, start, end):
    while start <= end:
        mid = (start + end) // 2
        if array[mid] == target:  # 찾은 경우
            return mid  # 중간점 인덱스 반환
        elif array[mid] > target:  # 중간점의 값보다 target이 작은 경우
            end = mid - 1  # 왼쪽 확인
        else:  # 중간점의 값보다 target이 큰 경우
            start = mid + 1  # 오른쪽 확인
        return None
    
    n = int(input())  #N(가게의 부품 개수) 입력
    array = list(map(int, input().split())) #가게에 있는 전체 부품 번호를 공백으로 구분하여 입력
    array.sort()  #이진 탐색 수행 위해 사전에 정렬 수행
    m = int(input())  # M(손님이 확인 요청한 부품 개수) 입력
    x = list(map(int, input().split()))  #손님이 확인 요청한 전체 부품 번호를 공백으로 구분하여 입력
    
    for i in x: #손님이 확인 요청한 부품 번호를 하나씩 확인
        result = binary_search(array, i, 0, n-1)
        # 해당 부품이 존재하는지 확인
        if result != None:
            print("yes", end=' ')
        else:
            print("no", end=' ')

sol 2) 계수 정렬 이용
-> 모든 원소의 버호를 포함할 수 있는 크기의 리스트를 만든 후 리스트의 인덱스에 접근하여 특정한 번호의 부품이 매장에 존재하는지 확인

계수 정렬 이용 코드

n = int(input())  #N(가게의 부품 개수) 입력
array = [0] * 1000001

#가게에 있는 전체 부품 번호를 입력받아서 기록
for i in input().split():
    array[int(i)] = 1
    
m = int(input())  # M(손님이 확인 요청한 부품 개수) 입력
x = list(map(int, input().split()))  #손님이 확인 요청한 전체 부품 번호를 공백으로 구분하여 입력

for i in x:  # 손님이 확인 요청한 부품 번호를 하나씩 확인
    # 해당 부품이 존재하는지 확인
    if array[i == 1:
        print("yes", end=' ')
    else:
        print("no", end=' ')

sol 3) 단순히 특정한 수가 한 번이라도 등장했는지 검사 => 집합 자료형 이용
집합 자료형은 단순히 특정한 데이터가 존재하는지 검사할 때 매우 효과적
(set() 함수는 집합 자료형을 초기화 할 때 사용)

집합 자료형 이용 코드

n = int(input())  #N(가게의 부품 개수) 입력
array = set(map(int, input().split())) #가게에 있는 전체 부품 번호를 공백으로 구분하여 입력

m = int(input())  # M(손님이 확인 요청한 부품 개수) 입력
x = list(map(int, input().split()))  #손님이 확인 요청한 전체 부품 번호를 공백으로 구분하여 입력

for i in x:  # 손님이 확인 요청한 부품 번호를 하나씩 확인
    if i in array:
        print("yes", end=' ')
    else:
        print("no", end=' ')

Ex2) 떡볶이 떡 만들기

오늘 동빈이는 여행 가신 부모님을 대신해서 떡집 일을 하기로 했다. 오늘은 떡볶이 떡을 만드는 날이다. 동빈이네 떡볶이 떡은 재밌게도 떡볶이 떡의 길이가 일정하지 않다. 대신에 한 봉지 안에 들어가는 떡의 총 길이는 절단기로 잘라서 맞춰준다.
절단기에 높이(H)를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단한다. 높이가 H보다 긴 떡은 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않는다.
예를 들어, 높이가 19, 14, 10, 17cm인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤 떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm가 될 것이다. 잘린 떡의 길이는 차례대로 4, 0, 0, 2cm익다. 손님은 6cm만큼의 길이를 가져간다.
손님이 왔을 때 요청한 총 길이가 M일 때 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력조건
- 첫째 줄에 떡의 개수 N과 요청한 떡의 길이 M이 주어진다. (1 $\leq$ N $\leq$ 1,000,000, 1 $\leq$ M $\leq$ 2,000,000)
- 둘째 줄에는 떡의 개별 높이가 주어진다. 떡 높이의 총합은 항상 M 이상이므로, 손님은 필요한 양만큼 떡을 사갈 수 있다. 높이는 10억보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.

출력조건
- 적어도 M만큼의 떡을 집에 가져가기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.

sol) 이진탐색 문제, 파라메트릭 서치(Parametric Search) 유형의 문제
적절한 높이를 찾을 때까지 절단기 높이 H를 반복해서 조정
-> '현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?'를 확인한 후 조건의 만족 여부에 따라 탐색 범위를 좁혀서 해결 (범위를 좁힐 때는 이진 탐색의 원리를 이용하여 절반씩)
=> 시작점을 0, 끝점을 가장 긴 떡의 길이로 설정한후 중간점을 초기의 H로 설정
이 때, 필요한 떡 길이보다 크면 시작점을 증가시킨다. 이를 반복
만약, 필요한 떡의 길이보다 작다면 끝점을 감소시킨다.
=> 중간값은 시간이 지날수록 '최적한 값'을 찾는다.

파라메트릭 서치: 최적화 문제를 결정 문제로 바꾸어 해결
=> '원하는 조건을 만족하는 가장 알맞은 값을 찾는 문제'에서 주로 사용

#떡의 개수(N)와 요청한 떡의 길이(M)을 입력받기
n, m = list(map(int, input().split(' ')))
array = list(map(int, input().split()))  #각 떡의 개별 높이 정보 입력받기

#이진 탐색을 위한 시작점, 끝점 설정
start = 0
end = max(array)

#반복문 이용하여 이진탐색 수행
result = 0
while(start <= end):
    total = 0
    mid = (start + end) // 2
    for x in array:
        if x > mid:  #잘랐을 때의 떡의 양 계산
            total += x - mid
    if total < m: #떡의 양이 부족한 경우
        end = mid - 1 #더 많이 자르기(왼쪽 부분 탐색)
    else: #떡의 양이 충분한 경우
        result = mid #최대한 덜 잘랐을 때가 답이므로 여기에서 result에 기록
        start = mid + 1  #덜 자르기(오른쪽 부분 탐색)
        
print(result)

기출문제

Q28 고정점 찾기

고정점이란, 수열의 원소 중에서 그 값이 인덱스와 동일한 원소를 의미합니다. 예를 들어 수열 a = {-15, -4, 2, 8, 13}이 있을 때 a[2] = 2이므로, 고정점은 2가 됩니다.
하나의 수열이 N개의 서로 다른 원소를 포함하고 있으며, 모든 원소가 오름차순으로 정렬되어 있습니다. 이때 이 수열에서 고정점이 있다면, 고정점을 출력하는 프로그램을 작성하세요. 고정점은 최대 한 개만 존재합니다. 만약 고정점이 없다면 -1을 출력합니다.
단, 이 문제는 시간 복잡도 $O(logN)$ 으로 알고리즘을 설계하지 않으면 '시간 초과' 판정을 받습니다.

입력조건
- 첫째 줄에 N이 입력됩니다.. (1 $\leq$ N $\leq$ 1,000,000)
- 둘째 줄에 N개의 원소가 정수 형태로 공백으로 구분되어 입력됩니다.
( $-10^9$ $\leq$ 각 원소의 값 $\leq$ $10^9$ )

출력조건
- 고정점을 출력한다. 고정점이 없다면 -1을 출력한다.

sol) 시간 복잡도 $O(logN)$ 를 만족시키기 위해 이진 탐색 사용. (이미 정렬 완료)
'찾고자 하는 값'이 '중간점'과 동일하다 가정하고 탐색 수행
=> 중간점이 가르키는 위치보다 중간점이 작을 때 왼쪽 탐색, 중간점이 클 때 오른쪽 탐색

#이진 탐색 코드 구현 (재귀 함수)

def binary_search(array, start, end):
    if start > end:
        return None
    mid = (start + end) // 2
    if array[mid] == mid: #고정점 찾은 경우
        return mid  #인덱스 반환
    elif array[mid] > mid:  #중간점이 가르키는 위치의 값보다 중간값이 작은 경우
        return binary_search(array, start, mid-1)  #왼쪽 탐색
    else:  #중간점이 가르키는 위치의 값보다 중간값이 큰 경우
        return binary_search(array, mid+1, end)  #오른쪽 탐색

n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))

index = binary_search(array, 0, n-1)

if index == None: #고정점이 없는 경우
    print(-1)
else:  #고정점이 있는 경우
    print(index)  #해당 인덱스 출력

입력 출력

5 								    3
-15 -6 1 3 7