[ 이것이 코딩테스트다 ] 37일차

taylor_series(테일러 급수)

📍 radian(라디안)

1. 호도법: 호가 반지름과 같아지는 각도, 약 57.3도를 1라디안으로 하며 보통의 경우 기호를 사용하지 않는다.

degrees	radians(π)	radians(number)
30°	π / 6	0.524
45°	π / 4	0.785
60°	π / 3	1.047
90°	π / 2	1.571

---

📍 삼각비

degrees	30°	45°	60°
sin	1 / 2	1 / √2	√3 / 2
cos	√2 /2	1 / √2	1 / 2
tan	1 / √3	1	√3

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📍 sin(x)

1. sin(x): x=0에서 계속 미분가능하다.

⚡️ 유도과정

1. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! * (x-a)^2 + f'''(a)/3! * (x-a)^3 + f''''(a)/4! * (x-a)^4
2. f(0) = f(0) + f'(0)(x-0) + f''(0)/2! * (x-0)^2 + f'''(0)/3! * (x-0)^3 + f''''(0)/4! * (x-a)^4
3. f(0) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9!
4. 즉, 1 <= n <= ∞ 이면, (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)!
5. 이전항에서 x=-x^2/(2n*(2n+1))마다 곱하면 된다.

점화식을 이용해 식을 나타내면 다음과 같다.

# x는 각도
# count_term은 테일러급수 점화식에서 변수만큼 식을 계산함
'''
sin(0, 15) => sin 0도
sin(pi/6, 15) => sin 30도
sin(pi/4, 15) => sin 45도
sin(pi/3, 15) => sin 60도
'''
import pi
pi = math.pi

def sin(x, count_term):
    if x < 0:
        return -sin(-x, count_term)
        
    while x >= 2*pi:
        x -= 2*pi

    current_term = x
    estimated = current_term
    
    for n in range(1, count_term):
        current_term *= -x*x/(2*n*(2*n+1))
        estimated += current_term
    return estimated

result = sin(0, 15)
print(result)
👉🏽 0, 0.4996, 0.7046, 0.8558

---

📍 cos(x)

1. cos(x): x=0에서 계속 미분가능하다.

⚡️ 유도과정

1. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! * (x-a)^2 + f'''(a)/3! * (x-a)^3 + f''''(a)/4! * (x-a)^4
2. f(0) = f(0) + f'(0)(x-0) + f''(0)/2! * (x-0)^2 + f'''(0)/3! * (x-0)^3 + f''''(0)/4! * (x-a)^4
3. f(0) = 1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - x^6 / 6! + x^8 / 8!
4. 즉, 1 <= n <= ∞ 이면, (-1)^n * x^(2n)/(2n)!
5. 이전항에서 x=x^n/n!마다 곱하면 된다.

점화식을 이용해 식을 나타내면 다음과 같다.

# x는 각도
# count_term은 테일러급수 점화식에서 변수만큼 식을 계산함
'''
cos(0, 15) => cos 0도
cos(pi/6, 15) => cos 30도
cos(pi/4, 15) => cos 45도
cos(pi/3, 15) => cos 60도
'''
import pi
pi = math.pi

def cos(x, count_term):
    if x < 0:
        return cos(-x, count_term)
        
    while x >= 2*pi:
        x -= 2*pi

    current_term = 1
    estimated = current_term
    
    for n in range(1, count_term):
        current_term *= -x*x/(2*n*(2*n-1))
        estimated += current_term
    return estimated

result = cos(0, 15)
print(result)
👉🏽 1.0, 0.8660, 0.7071, 0.5

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📍 tan(x)

1. tan(x) = sin(x) / cos(x)

# x는 각도
# count_term은 테일러급수 점화식에서 변수만큼 식을 계산함
'''
tan(0, 15) => tan 0도
tan(pi/6, 15) => tan 30도
tan(pi/4, 15) => tan 45도
tan(pi/3, 15) => tan 60도
'''
import pi
pi = math.pi

def tan(x, count_term):
return sin(x, count_term) / cos(x, count_term)

result = tan(0, 15)
print(result)
👉🏽 0.0, 0.5769, 0.9965, 1.7116

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