최단경로 - (3) 플로이드-워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘

플로이드-워셜 알고리즘

다익스트라, 벨만-포드 알고리즘으로 주어진 하나의 정점으로부터 다른 모든 정점들까지의 최단 경로를 구할 수 있었다면, 플로이드-워셜 알고리즘을 활용하면 모든 정점들간의 최단 경로를 구할 수 있다.
다익스트라 알고리즘에서는 출발점이 정해져 있었기 때문에 출발점에서 도달할 수 있는 가장 가까운 경로를 탐욕적으로 선택해갔다. 그런데 출발점이 따로 정해져있지 않은 경우에는 어떨까?

플로이드-워셜 알고리즘 구현

플로이드-워셜 알고리즘은 경유하는 정점에 초점을 두고, 그 정점을 거쳐가는 경로가 기존 경로보다 더 효율적인지를 판단한다. 즉, 경유하는 정점의 입장에서 어떤 정점 u가 다른 정점 v로 갈 때 자신을 거쳐서 가는 것이 기존의 경로보다 더 효율적이라면 기존의 경로를 갱신해주는 작업을 반복하는 것이다.

플로이드-워셜 알고리즘 프로세스

1. 간선들의 정보(정점, 간선의 길이)를 저장할 인접행렬을 만들고, 거리 값은 무한대로 초기화한다.
2. 인접행렬에 간선들의 정보를 저장한다. 이 때 두 정점 사이의 간선이 여러 개라면 더 짧은 간선을 저장한다.
3. 경유지를 기준으로, 어떤 두 정점이 해당 경유지를 거처갈 경우에 기존의 거리보다 더 짧다면 기존의 거리 값을 갱신한다.
4. 모든 정점을 경유지로 설정해 3번 과정을 반복한다.
   
   

플로이드-워셜 알고리즘 코드 (Python)

def floyd_warshall(n, edges):
    # 그래프 정보를 담을 인접행렬, 거리는 무한대로 초기화
    adj = [[float('inf')] * (n+1) for _ in range(n+1)] 
    
    # 인접행렬에 그래프 정보 저장 (정점 u -> v 거리 w)
    for u, v, w in edges:
        adj[u][v] = w
    
    # k : 경유지 (각 정점들을 경유지로 설정)
    for k in range(1, n+1):
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, n+1):
            	# 정점 i -> j로 갈 때 기존 거리값과 k를 거쳐갈 때의 거리 값 중 작은 값을 저장
                adj[i][j] = min(adj[i][j], adj[i][k] + adj[k][j])
    
    return adj
    
# 정점 개수 & 간선 정보
n = 4  
edges =  [[1, 2, 4],
    [1, 3, 1],
    [2, 3, 2],
    [2, 4, 1],
    [3, 2, 1],
    [4, 1, 5],
    [4, 3, 5]]
    
# 결과 출력
dist = floyd_warshall(n, edges)
for i in range(1, n+1):
    print(dist[i][1:])

시간 복잡도 & 공간 복잡도

코드에서 알 수 있듯이 정점의 개수 $V$만큼 반복분이 3중으로 수행되고 있기 때문에 $O(V^3)$의 시간 복잡도를 갖는다.
그리고 간선들의 정보를 $V*V$ 크기의 인접행렬에 담았기 때문에 $O(V^2)$의 공간 복잡도를 갖는다.