최단 경로 알고리즘

다익스트라, 플로이드 와샬

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다
• 다양한 문제 상황
  - 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  -한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  -모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
  - 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
  - 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.

다익스트라 동작 과정

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 게산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

원리

• 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.
• 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야' 라고 갱신합니다.

특징

• 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음
  - 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있음
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
  - 완벽한 형태의 최단 경로를 구할면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.
  

우선순위 큐

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 먼저 삭제하는 자료 구조
• 힙(Heap)
  - 최소 힙, 최대 힙이 있음
  • 삽입, 삭제 시간 O(logN)

다익스트라 알고리즘에서의 최소 힙 자료구조

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다.
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일합니다.
  - 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다릅니다.
  • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.

import heapq
import sys
import sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start=int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만드릭
graph=[[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] *(n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c=map(int, input()).split(())
    # a 번 노드에서 b 번 노드로 가는 비용이 c 라는 의미
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q=[]
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start]=0
    while q : # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now= heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시 (이미 최단 거리라면 무시)
        if distance[now] < dist:
                continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[i]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost <distance[i[0]]:
                distance[i[0]]=cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
    if distance[i]==INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거기를 추력
    else:
        print(distance[i])

2. 플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
  - 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 찾는 과정이 필요하지 않다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장합니다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속합니다.

원리

• 각 단계마다 특정한 노드 k 를 거쳐가는 경우를 학인
  - a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
• 점화식
  Dab= min (Dab, Dak+Dkb)
  

성능 분석

• 노드의 개수가 N 개일 때, 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행합니다.
  - 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려합니다.
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)입니다.

INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정


# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 포현)을 만들고, 무한으로 초기화
graph=[[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]


# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0 으로 초기화
for a in range (1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a== b:
            graph[a][b]=0


# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # a 에서 b 로 가는 비용은 c 라고 설정
    a,b,c= map(int, input().split())
    grpah[a][b]=c


# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b]= min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])


# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한 (INFINITY) 라고 출력
        if graph[a][b]=INF:
            print("INFINITY", end="")
        else:
            print(graph[a][b], end="")
    print()

예제) 전보

• 어떤 나라에는 N 개의 도시가 있다.
• X 에서 Y 라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 통로가 설치되어 있어야 한다.
• 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.
• 도시 C 에서 출발하여, 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다.
• 각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C 에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개 이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.