Linearization

선형 시스템과 선형성

Definition
$\,$
If $f(t)$ can be expressed as a sum of two functions,

$f(t)=f_1(t)+f_2(t)$

Then, the response of the linear system $y(t)$ can be expressed in the form

$y(t)=c_1y(t)+c_2y(t)$

where $y_1(t)$ in the response of $f_1(t)$ and $y_2(t)$ in the response of $f_2(t)$

선형 시스템이란 입력과 출력의 관계가 선형인 시스템이다. 이때 선형성이란 입력의 덧셈과 상수배가 출력에 그대로 유지되는 성질이다.

비선형 시스템의 선형화

선형화 하는 법
Consider a non-linear diffferential equation

$\dot{x} = f(x(t),u(t))$

When linearizing, the state & space of interest is Equilibrium(Trim)

$x_0,\,u_0\,=\,const$

We can then linearize $\dot{x}$ as

$\begin{aligned} let\,\,\partial{x}&=x-x_0 \\\partial{u}&=u-u_0 \end{aligned} \\\begin{aligned} \\then, \\\dot{x}=&f(x,u) \\=&f(x_0,u_0)+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\rvert_{(x_0,u_0)}(x-x_0)+\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\rvert_{(x_0,u_0)}(u-u_0)+H.O.T \\Since \end{aligned} \\\dot{x_0}\, =\,const \\\dot{x}=\dot{x_0}+\dot{\partial{x}} \\\hspace{1mm} \begin{aligned} \\\dot{\partial{x}}=&\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\rvert_{(x_0,u_0)}\partial{x}+\frac{\partial{f}}{\partial{u}}\rvert_{(x_0,u_0)}\partial{u}+H.O.T \\=&A\partial{x}+B\partial{u} \end{aligned} \\\hspace{1mm} \\\therefore\,\,\dot{x}=Ax+Bu$

어떤 시스템의 제어의 목표는 안정된 평형 상태의 구축이다. 우리가 선형화하고자 하는 영역은 평형점 근처이므로 테일러 전개를 통하여 비선형 시스템의 평형점 근처에서 선형화된 시스템을 만들어낼 수 있다. 선형 시스템을 활용하여 우리는 근사된 시스템을 풀어 평형점 근처의 해를 구할 수 있다.

선형화의 의미

비선형 시스템의 해를 구하는 것은 매우 어렵다. 그에 비해 선형 시스템의 해를 구하는 것은 비교적 쉽다. 우리는 선형화를 통해 해석하기 어려운 시스템을 해석할 수 있고, 공학도에 걸맞게 안정한 평형 상태를 설계하고 안정성을 평가할 수 있다. 제어의 최종 목적인 안정 평형 상태를 설계하고 평가하기 위해 선형화는 매우 좋은 도구이다.

안정성의 평가

평형 상태는 평형점 근방의 움직임에 따라 안정 평형과 불안정 평형으로 나뉜다. 안정성 평가 방법에는 Lyapunov Stability Theory와 Routh-Hurwitz stability criterion이 있다. Routh-Hurwirz stability criterion은 이후 포스팅에서 설명하겠다.

Lyapunov Stability Theory
If a small signal linear model is vaild near on equilibrium & stable,
Then there exists a region, which maybe small, containing the equilibrium within which the non-linear system is stable.

Lyapunov Stability Theory에서 우리는 시스템의 해를 직접 구하지 않고, 해의 존재성만을 갖고 시스템의 안정성을 평가할 수 있다. 이는 해를 실제로 구하기 어려운 비선형 시스템에서 매우 유용하다.

3줄 요약

1. 선형성은 덧셈, 상수배 등 계산에 매우 유리한 성질이다.
2. 비선형 시스템은 평형점 근처에서 선형화할 수 있다.
3. 선형화를 하면 제어기 설계에 매우 편리하다.