1. 다양한 그래프 알고리즘

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드가 없음	루트 노드가 존재
노드간 관계성	부모와 자식 관계 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

1) 서로소 집합

• 서로소 집합(Disjoint Sets): 공통 원소가 없는 두 집합
• 서로소 집합 자료구조 : 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

가. 서로소 집합 자료구조

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
   1) A와 B의 루트 노드 A', B' 를 각각 찾는다.
   2) A'를 B'의 부모 노드로 설정한다.(B'가 A'를 가리키도록 한다.)
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다.

# 기본적인 서로소 집합 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니면 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

입력 예시
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

출력 예시
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5
부모 테이블: 1 1 2 1 5 5

# 경로 압축 기법 소스코드
def find_parent(parent, x):
	if parent[x] != x :
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 개선된 서로소 집합 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니면 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

입력 예시
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

출력 예시
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5
부모 테이블: 1 1 1 1 5 5

나. 서로소 집합을 활용한 사이클 판별

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   1) 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
   2) 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

# 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니면 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생하면 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았으면 합집합 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

입력 예시
3 3
1 2
1 3
2 3

출력 예시
사이클이 발생했습니다.

2) 신장 트리

• 신장 트리(Spanning Tree): 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

가. 크루스칼 알고리즘

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
   1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

# 크루스칼 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니면 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

edges = []  # 모든 간선
result = 0  # 최종 비용

# 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

입력 예시
7 9
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25

출력 예시
159

3) 위상 정렬

• 위상정렬(Topology Sort): 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'

1. 진입차수가 0인 노드에 큐를 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

# 위상 정렬 소스코드
from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque

    # 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

입력 예시
7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

출력 예시
1 2 5 3 6 4 7