📌 다익스트라 최단 경로 알고리즘
- 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우
- 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때,
특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘 - 그리디 알고리즘으로 분류된다
(매번 가장 비용이 적은 노드를 선택하는 과정을 반복하기 때문 - 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택) - 전제
- 그래프가 연결됨
- 간선들은 무방향
- 간선의 무게는 음수 X
과정을 살펴보자
1. 출발노드 설정(start)
2. 최단 거리 테이블 초기화(distance)
3. 방문하지 않은 노드 중, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블 갱신(그리디)
5. 3 - 4 반복
간단한 다익스트라 알고리즘
시간복잡도 O(V^2)
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미(10억)
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력 받기
n, e = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 담기
graph = [[] for i in range(n + 1)] # n + 1 !!!
# 방문한 적이 있는지 체크하는 리스트
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블
# 계속 갱신할 리스트
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(e): # 간선의 개수만큼 입력 받기
a, b, c = map(int, input().split()) # a -> b로 가는 가중치 c
graph[a].append((b, c)) # 튜플
# 방문하지 않은 노드 중, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호 반환
# distance 로 비교
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 짧은 노드 인덱스
for i in range(1, n + 1): # 1 ~ n 노드에서 찾기
if distance[i] > min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
visited[start] = True
distance[start] = 0
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 (n - 1)개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내 방문 처리
now = get_smallest_node() # 현재 노드 설정
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
for j in graph[now]:
# 최단 경로 갱신하자
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드 + 가중치 가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost # 갱신
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우 INF 출력
if distance[i] == INF:
print('*')
else:
print(distance[i])개선된 다익스트라 알고리즘
시간복잡도 O(ElogV)
heapq 라이브러리 사용 - 힙 자료구조
heapq 라이브러리는 원소로 튜플을 입력받으면, 튜플의 첫번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다
-> (거리, 노드번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해서 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다
import heapq # 우선순위큐
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)
n, e = map(int, input().split()) # 노드, 간선의 개수
start = int(input()) # 시작점
graph = [[] for i in range(n + 1)] #####
distance = [INF] * (n + 1)
for _ in range(e):
a, b, c = map(int, input().split())
# graph[a][b] = c # 오류
graph[a].append((b, c)) # 튜플
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정해서, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start)) # (0, start) = (가중치, 노드)
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않으면 반복
dist, now = heapq.heappop(q)
if distance[now] < dist: # 이미 처리된 노드이면 무시
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드 확인(갱신위함)
for i in graph[now]:
cost = i[1] + dist
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost # 갱신
heapq.heappush(q, (cost, i[0])) # 갱신하면 push
dijkstra(start)
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] == INF:
print("*", end = ' ')
else:
print(distance[i], end = ' ')📌 플로이드 워셜 알고리즘
-
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우
-
핵심 아이디어를 이해하자 !
-
다익스트라 알고리즘은 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복해서 선택하고,
해당 노드를 거쳐 가는 경로를 확인하며, 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작한다.
플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행하지만,
매번 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다. -
노드의 개수가 N개 일 때, 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해
현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다 👉 총 시간 복잡도 : O(N^3) -
이 알고리즘은 2차원 리스트에 최단 거리 정보(distance)를 저장한다.
(다익스트라는 1차원) -
다이나믹 프로그래밍 : 노드의 개수가 N개라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며, 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신하기 때문.
-
각 단계에서는 해당 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다.
ex) 해당 노드가 1번 일 때 : A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 후 최단 거리를 갱신
점화식
Dab = min(Dab, Dak + Dkb)
3중 반복문
for k in range(n):
for i in range(n):
for j in range(n):
distance[i][j] = min(distance[i][j], distance[i][k] + distance[k][j]소스코드
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억
# 노드, 간선의 개수
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] # 2차원으로 가능
# graph = [[] for i in range(n + 1)] -> 튜플이고
# 자기 자신의 비용은 0으로
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 간선의 정보 입력 받기
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용 C
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 만약 이런 graph를 선언했으면 오류 index
# 점화식에 따라 플로이드 알고리즘 수행
# O(N^3)
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if graph[a][b] == INF:
print('*', end = ' ')
else:
print(graph[a][b])
print()