옵션 가격 모형 #3 - 다-기간 이항 모형

briggs·2025년 3월 4일
다-기간 이항 모형

옵션 가격 모형

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2-기간 이항 모형

2-기간 모형은 1-기간 모형의 확장입니다. 아래 그림을 보면 바로 느낌이 올 겁니다. 2-기간 모형은 3개의 1-기간 모형으로 이루어져 있습니다.

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2-기간이 지나 만기가 되었을 때 콜 옵션 가치는 아래와 같습니다.

Cuu=max⁡(0,u2S−K)Cud=max⁡(0,udS−K)Cdd=max⁡(0,d2S−K)\begin{aligned} C_{uu}&=\max(0,u^2S-K)\\ C_{ud}&=\max(0,udS-K)\\ C_{dd}&=\max(0,d^2S-K) \end{aligned}

CuuC_{uu}, CudC_{ud}, CddC_{dd}를 구했으면 1-기간 모형을 사용하여 CuC_u와 CdC_d를 구할 수 있습니다.

Cu=e−r(πCuu+(1−π)Cud)(1)C_u=e^{-r}(\pi C_{uu}+(1-\pi) C_{ud})\tag{1}
Cd=e−r(πCud+(1−π)Cdd)(2)C_d=e^{-r}(\pi C_{ud}+(1-\pi) C_{dd})\tag{2}

CuC_u와 CdC_d를 구했으면 CC도 구할 수 있습니다.

C=e−r(πCu+(1−π)Cd)(3)C=e^{-r}(\pi C_{u}+(1-\pi) C_{d})\tag{3}

(1)과 (2)를 (3)에 집어 넣고 정리하여 봅시다. 동전을 던져서 앞면이 나온 회수를 jj라고 하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

C=e−r(π⋅e−r(πCuu+(1−π)Cud)+(1−π)⋅e−r(πCud+(1−π)Cdd))=e−2r(π2Cuu+2π(1−π)Cud+(1−π)2Cdd)=e−2r⋅∑j=022Cj⋅πj(1−π)2−j⋅max⁡(0,ujd2−jS−K)\begin{aligned} C&=e^{-r}(\pi \cdot e^{-r}(\pi C_{uu}+(1-\pi) C_{ud})+(1-\pi) \cdot e^{-r}(\pi C_{ud}+(1-\pi) C_{dd}))\\ &=e^{-2r}(\pi^2C_{uu}+2\pi(1-\pi)C_{ud}+(1-\pi)^2C_{dd})\\ &=e^{-2r}\cdot\displaystyle\sum_{j=0}^2{_2C_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{2-j}}\cdot\max(0,u^{j}d^{2-j}S-K) \end{aligned}

1-기간 모형일 때와 마찬가지로 콜 옵션의 가격은 콜 옵션 만기 가치의 기대값을 무위험 이자율로 할인한 가치가 됩니다. 여기서 기대값은 위험 중립 확률로 계산한 위험 중립 기대값입니다.

nn-기간 모형

기간을 계속 늘려 봅시다. nn-기간이 되면 만기 시점의 콜 옵션 가격은 아래와 같이 일반화할 수 있습니다.

C=e−nr⋅∑j=0nnCj⋅πj(1−π)n−j⋅max⁡(0,ujdn−jS−K)C=e^{-nr}\cdot\displaystyle\sum_{j=0}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot\max(0,u^{j}d^{n-j}S-K)

동전의 앞면이 나온 회수가 많을수록 만기 시점의 주가는 올라갑니다. 앞면이 나온 회수가 적어도 어떤 회수 이상이 되어야 만기 시점의 주가가 행사 가격보다 높아질 겁니다. 이 회수를 aa라고 하겠습니다.

max⁡(0,ujdn−jS−K)={0j<aujdn−jS−Kj≥a\max(0,u^{j}d^{n-j}S-K)=\begin{cases} 0 & j<a\\ u^{j}d^{n-j}S-K & j \geq a \end{cases}

j<aj < a이면 만기 시점의 콜 옵션 가치가 없으니까 콜 옵션의 가격은 jj가 aa와 같거나 큰 경우만 고려하면 됩니다. 이를 이용하면 일단 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

C=e−nr⋅∑j=0nnCj⋅πj(1−π)n−j⋅max⁡(0,ujdn−jS−K)=e−nr⋅∑j=annCj⋅πj(1−π)n−j⋅(ujdn−jS−K)=e−nr(∑j=annCj⋅πj(1−π)n−j⋅ujdn−jS−∑j=annCj⋅πj(1−π)n−j⋅K)=e−nr(∑j=annCj⋅(πu)j(d(1−π))n−j⋅S−∑j=annCj⋅πj(1−π)n−j⋅K)\begin{aligned} C&=e^{-nr}\cdot\displaystyle\sum_{j=0}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot\max(0,u^{j}d^{n-j}S-K)\\ &=e^{-nr}\cdot\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot (u^{j}d^{n-j}S-K)\\ &=e^{-nr}\left(\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot u^{j}d^{n-j}S-\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot K\right)\\ &=e^{-nr}\left(\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot(\pi u)^{j}(d(1-\pi))^{n-j}}\cdot S-\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot K\right)\\ \end{aligned}

그런데 πu\pi u와 d(1−π)d(1-\pi)는 더하면 ere^r이 됩니다. 그리고 양변을 ere^r로 나누면 우변이 1이 됩니다.

πu+d(1−π)=er−du−d⋅u+u−eru−d⋅d=er\pi u+d(1-\pi)=\frac{e^r-d}{u-d}\cdot u+\frac{u-e^r}{u-d}\cdot d=e^r
πuer+d(1−π)er=1\frac{\pi u}{e^r}+\frac{d(1-\pi)}{e^r}=1

더해서 1이 된다는 점에서 이것도 일종의 확률입니다. 각각 ρ\rho, (1−ρ)(1-\rho)라고 합시다. ρ\rho는 로라고 읽습니다.

πuer=ρ∴πu=ρerd(1−π)er=1−ρ∴d(1−π)=(1−ρ)er\begin{aligned} \frac{\pi u}{e^r}&=\rho\quad\therefore \pi u=\rho e^r\\ \frac{d(1-\pi)}{e^r}&=1-\rho\quad\therefore d(1-\pi)=(1-\rho)e^r \end{aligned}

이 확률을 이용하여 마저 정리하면 이렇게 됩니다.

C=e−nr(∑j=annCj⋅(ρer)j((1−ρ)er)n−j⋅S−∑j=annCj⋅πj(1−π)n−j⋅K)=e−nr(∑j=annCj⋅ρj(1−ρ)n−j⋅enrS−∑j=annCj⋅πj(1−π)n−j⋅K)=S⋅∑j=annCj⋅ρj(1−ρ)n−j−K⋅e−nr∑j=annCj⋅πj(1−π)n−j\begin{aligned} C&=e^{-nr}\left(\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot(\rho e^r)^{j}((1-\rho)e^r)^{n-j}}\cdot S-\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot K\right)\\ &=e^{-nr}\left(\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot\rho^{j}(1-\rho)^{n-j}}\cdot e^{nr}S-\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot K\right)\\ &=S\cdot \displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot\rho^{j}(1-\rho)^{n-j}}-K\cdot e^{-nr}\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\\ \end{aligned}

정리가 다 끝났지만 너무 긴 느낌입니다. 조금만 더 정리해 보겠습니다. 확률 변수 xx가 이항 분포를 따를 때 xx가 aa보다 크거나 같을 확률은 이렇게 됩니다.

j∼B(n,p)j \sim B(n,p)
p(j≥a)=∑j=annCj⋅pj(1−p)n−jp(j\geq a)=\displaystyle\sum_{j=a}^n{_nC_j\cdot p^{j}(1-p)^{n-j}}

이 확률을 아래와 같은 기호로 표현하겠습니다.

B(a;n,p):=p(j≥a)B(a;n,p):=p(j\geq a)

그러면 콜 옵션의 가격은 최종적으로는 이런 공식이 됩니다. 여기서 B(a;n,ρ)B(a;n,\rho)나 B(a;n,π)B(a;n,\pi)나 모두 동전을 던져서 앞면이 aa번 이상 나올 확률입니다. 다만, 앞면이 나올 확률이 1/2은 아닌 동전인 셈이죠. 그리고 이 확률은 만기에 주가가 행사 가격보다 높을 확률이자 옵션이 행사될 확률입니다. 주목할 것은 콜 옵션의 가격을 알기 위해서 만기 시점의 주가를 알 필요가 없다는 점입니다.

C=S⋅B(a;n,ρ)−Ke−nr⋅B(a;n,π)C=S\cdot B(a;n,\rho)-Ke^{-nr}\cdot B(a;n,\pi)

만약 1년에 동전을 nn번 던진다면 nrnr은 1년 무위험 이자율입니다. nr=rfnr=r_f라고 하겠습니다. 그리고 만기가 tt년 후라면 동전을 ntnt번 던지게 되므로 콜 옵션의 만기는 ntnt 기간 후가 됩니다. 따라서 만기가 tt년 후인 콜 옵션의 가격은 이렇게 됩니다.

C=S⋅B(a;nt,ρ)−Ke−nt⋅rfn⋅B(a;nt,π)∵r=rfn=S⋅B(a;nt,ρ)−Ke−rf⋅t⋅B(a;nt,π)\begin{aligned} C&=S\cdot B(a;nt,\rho)-Ke^{-nt\cdot\frac{r_f}{n}}\cdot B(a;nt,\pi)\quad \because r=\frac{r_f}{n}\\ &=S\cdot B(a;nt,\rho)-Ke^{-r_f\cdot t}\cdot B(a;nt,\pi)\\ \end{aligned}

이제부터 1년 무위험 이자율 rfr_f를 rr이라고 하겠습니다. 그러면 최종적으로 콜 옵션 가격 공식은 이렇게 됩니다.

∴C=S⋅B(a;nt,ρ)−Ke−rt⋅B(a;nt,π)\therefore C=S\cdot B(a;nt,\rho)-Ke^{-rt}\cdot B(a;nt,\pi)
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