선형대수.2 - 그룹, 벡터 공간

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군, 그룹 group

집합 $\mathcal{G}$와 연산 $\otimes: \mathcal{G}\times\mathcal{G}\rightarrow\mathcal{G}$가 있을 때, 다음 조건을 만족하면 $G:=(\mathcal{G}, \otimes)$는 그룹이다.

• $\forall x, y, z \in \mathcal{G}$

1. $\mathcal{G}$는 $\otimes$에 닫혀있다.:
   $x\otimes y \in \mathcal{G}$
2. 결합법칙 성립:
   $(x\otimes y)\otimes z = x\otimes(y\otimes z)$
3. 항등원이 $\mathcal{G}$에 존재:
   $\exist e\in\mathcal{G}: x\otimes e=e\otimes x=x$
4. 역원이 $\mathcal{G}$에 존재:
   $\exist a \in \mathcal{G}: x\otimes a=a\otimes x=e$

특히 교환법칙: $x\otimes y = y\otimes x$ 이 성립하면 $G$는 아벨 그룹 abelian group이다.

• $(\mathbb{Z}, +)$: 아벨 그룹
• $(\mathbb{N}_0, +)$: 그룹이 아니다. ($\mathbb{N}_0 := \mathbb{N}\cup\{0\}$일 때, 역원이 없다.)
• $(\mathbb{R}, \cdot)$: 그룹이 아니다. (0에 대한 역원이 없다.)

regular 행렬 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}$로 이루어진 행렬 집합은 행렬곱 연산과 그룹을 이루고, 그 그룹을 특별히 일반선형군 general linear group이라 하고 $GL(n, \mathbb{R})$로 표기한다. (행렬 곱은 일반적으로 교환법칙은 성립하지 않으니 아벨그룹은 아니다.)

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벡터 공간 vector space

집합 $\mathcal{V}$와 집합의 원소끼리의 합연산(벡터 덧셈) $+: \mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V}$, 집합의 원소와 스칼라의 곱연산(스칼라 곱셈) $\cdot:\mathbb{R}\times\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V}$는 다음 조건을 만족하면 실수 벡터 공간 $V=(\mathcal{V}, +, \cdot)$을 이룬다.

• $\forall \boldsymbol{x,y}\in\mathcal{V}, \quad\forall\lambda,\psi\in\mathbb{R}$

1. $(\mathcal{V}, +)$가 아벨 그룹
   항등원, 역원, 교환법칙, 결합법칙
2. 분배법칙 성립:
   • $\lambda\cdot(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) = \lambda\cdot\boldsymbol{x}+\lambda\cdot\boldsymbol{y}$
   • $(\lambda+\psi)\cdot\boldsymbol{x}=\lambda\cdot\boldsymbol{x}+\psi\cdot\boldsymbol{x}$
3. $\cdot$ 의 결합법칙 성립:
   $\lambda\cdot(\psi\cdot\boldsymbol{x})=(\lambda\psi)\cdot\boldsymbol{x}$
4. $\cdot$ 의 항등원 존재
   $1\cdot \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$

$\boldsymbol{x}\in\mathcal{V}$: 벡터. $\boldsymbol{x}\in {V}$와 같은 표현

벡터 공간의 예: $\mathcal{V}=\mathbb{R}^n, \mathcal{V}=\mathbb{R}^{m\times n}, \mathcal{V}=\mathbb{C}$인 경우

• 벡터 덧셈은 elementwise

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부분 벡터 공간 vector subspace

벡터 공간 $V=(\mathcal{V}, +, \cdot)$, $\mathcal{U}\subseteq\mathcal{V}$, $\mathcal{U}\neq\empty$ 일 때, $U=(\mathcal{U}, +, \cdot)$는 $V$의 부분 벡터 공간이고 $U\subseteq V$로 표기할 수 있다. (단, $+:\mathcal{U}\times\mathcal{U}\rightarrow\mathcal{U}$, $\cdot:\mathbb{R}\times\mathcal{U}$)

그룹이 다른 벡터 공간의 부분 공간이려면

• $\mathcal{U}\neq\empty$, $\boldsymbol{0}\in\mathcal{U}$: $+$ 연산에 대한 항등원을 포함해야하고
• $+, \cdot$ 연산이 $\mathcal{U}$에 닫혀있어야한다.

모든 벡터 공간의 부분 벡터 공간은 자기 자신과 $\{\boldsymbol{0}\}$

• $\{\boldsymbol{0}\}$의 경우
  • 벡터 덧셈, 스칼라 곱셈 연산에 닫혀있고: $\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$, $\lambda\cdot\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$
  • 결합, 분배법칙도 만족하며
  • $\boldsymbol{0}$이 역원이자 항등원이다.
• $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$의 해는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분 공간
  • $\boldsymbol{x}=\lambda_1\begin{bmatrix}\vdots\end{bmatrix}+\cdots$
    • $+, \cdot$ 에 닫혀있음.
      • $\lambda_1, \lambda_2, \lambda' \in \mathbb{R}$ 일 때, $\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x_2} = (\lambda_1+\lambda_2)\begin{bmatrix}\vdots\end{bmatrix}+\cdots=\lambda'\begin{bmatrix}\vdots\end{bmatrix}+\cdots$
      • $\lambda, \lambda', \tilde{\lambda} \in \mathbb{R}$ 일 때, $\lambda'\cdot\boldsymbol{x}=\lambda'\lambda\begin{bmatrix}\vdots\end{bmatrix}+\cdots=\tilde{\lambda}\begin{bmatrix}\vdots\end{bmatrix}+\cdots$
    • 결합, 분배법칙 만족하고
    • $\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}$이면 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
• $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}, (\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0})$의 해는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분 공간이 아님
  • $\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0}$ 이므로 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$
  • $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2) = \boldsymbol{Ax}_1+\boldsymbol{Ax}_2 = 2\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{b}$
  • $\boldsymbol{A}(\lambda\boldsymbol{x}) = \lambda\boldsymbol{Ax} = \lambda\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{b}$