📚 1. 다양한 그래프 알고리즘
5장 DFS/BFS 와 9장 '최단 경로'에서 다룬 내용은 모두 그래프 알고리즘으 한 유형으로 볼 수 있다.
크루스칼 알고리즘(Kruskal Algorithm) : 그리디 알고리즘으로 분류된다.
위상 정렬 알고리즘(Topology Algorithm) : 큐 자료 구조 혹은 스택 자료구조를 활용해야 구현할 수 있다.
📚 2. 그래프(Graph)
노드(Node)와 노드 사이에 연결된 간선(Edge)의 정보를 가지고 있는 자료구조를 의미한다.
알고리즘 문제를 접했을 때 '서로 다른 개체(혹은 객체 Object)가 연결되어 있다'는 이야기를 들으면 가장 먼저 그래프 알고리즘을 떠올려야 한다.
ex) 여러 개의 도시가 연결되어 있다? ➡️ 그래프 알고리즘을 의심해봐야한다❗️
❗️그래프 자료구조 중에서 트리(Tree) 자료구조는 다양한 알고리즘에서 사용된다.❗️
➡️ 트리 : 방향 그래프
| 그래프 | 트리 | |
|---|---|---|
| 방향성 | 방향 그래프 혹은 무방향 그래프 | 방향 그래프 |
| 루트 노드 존재 여부 | 루트 노드가 없음 | 루트 노드가 존재 |
| 노드간 관계성 | 부무와 자식 관계 없음 | 부모와 자식 관계 |
| 모델의 종류 | 네트워크 모델 | 계층 모델 |
그래프 구현 방법
- 인접 행렬(Adjacency Matrix) : 2차원 배열을 사용하는 방식
- 인접 리스트(Adjacency List) : 리스트를 사용하는 방식
➡️ 두 방식은 메모리와 속도 측면에서 구별되는 특징을 가진다.
인접 행렬과 인접 리스트는 다양한 그래프 알고리즘에서 사용되고 있다.
노드의 개수 : N, 간선의 개수 : E
(1) 인접행렬을 이용하는 방식
- 간선 정보를 저장하기 위해서
O(V^2)만큼의 메모리 공간이 필요하다.- 인접 행렬은 특정한 노드 A에서 다른 특정한 노드 B로 이어진 간선의 비용을
O(1)의 시간으로 즉시 알 수 있다는 장점이 있다.- 인접 리스트를 이용할 때는 O(V)만큼의 시간이 소요된다.
- 플로이드 워셜 알고리즘은 인접 행렬을 이용하는 방식이다.
(2) 인접 리스트를 이용하는 방식
- 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 최단 경로 알고리즘
- 노드의 개수가 V개일 때는 V개의 리스트를 만들어서 각 노드와 연결된 모든 간선에 대한 정보를 리스트에 저장한다.
어떤 문제를 만나든 메모리와 시간을 염두에 두고 알고리즘을 선택해서 구현해야 한다❗️
📚 3. 서로소 집합
수학에서 서로소 집합(Disjoint Sets)이란 공통 원소가 없는 두 집합
서로소 관계 예시
ex)
- 집합 {1, 2}와 집합 {3, 4}는 서로소 관계이다.
- 반면에 집합 {1, 2}와 집합 {2, 3}은 2라는 원소가 두 집합에 공통적으로 포함되어 있기 때문에 서로소 관계가 아니다.
서로소 집합 자료구조 개념
- 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.
- 서로소 집합 자료구조는
union과find이 2개의 연산으로 조작할 수 있다.union합집합 연산 : 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산find찾기 연산 : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산- 서로소 집합 자료구조는
union-find(합치기 찾기) 자료구조라고도 불린다.- 연산이란? 두 집합이 서로소 관계인지를 확인할 수 있다는 말은 각 집합이 어떤 원소를 공통으로 가지고 있는지를 확인할 수 있다는 말과 같다.
✓ 서로소 집합 자료구조
서로소 집합 자료구조를 구현할 때, 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현한다.
서로소 집합 정보(합집합 연산)이 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해서 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘
(1) union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
- A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
- A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (B'가 A'를 가리키도록 한다.)
(2) 모든union(합집합) 연산을 처리할 때까지 (1)번 과정을 반복한다.
서로소 집합 계산 알고리즘의 동작 방식 예시
{1, 2, 3, 4, 5, 6}이 6개의 원소로 구성되어있는 상황
union1, 4 : 1과 4는 같은 집합union2, 3 : 2와 3은 같은 집합union2, 4 : 2와 4는 같은 집합union5, 6 : 5와 6은 같은 집합
4개의 union 연산이 수행된 후에, 전체 원소들이 결과적으로 어떠한 형태의 부분 집합으로 나누어질지 확인해보자❗️
union연산들은 그래프 형태로 표현될 수도 있다.- 각 원소는 그래프에서의 노드로 표현된다.
- '같은 집합에 속한다'는 정보를 담은
union연산들은 간선으로 표현된다.
다음 그래프는
union의 관계를 효과적으로 보여주기 위해 그래프 형태로 시각화할 수 있다는 의미를 보여주기 위해 보여주는 것이다.
- 트리 자료구조를 이용한다.
- 일반적으로 서로소 집합을 그림으로 표현할 때는 번호가 큰 노드가 번호가 작은 노드를 간선으로 가리키도록 트리 구조를 이용해 그림을 그리게 된다.
- 번호가 작은 노드가 부모가 되고, 번호가 큰 노드가 자식이 된다.
전체 원소가[1, 2, 3, 4]와[5, 6]이라는 두 집합으로 나누어지는 것을 알 수 있다.
union 연산을 하나씩 확인하면서 서로 다른 두 원소에 대해 합집합(union)을 수행해야 할 때는, 각각 루트 노드를 찾아서 더 큰 루트 노드가 더 작은 루트 노드를 가리키도록 하면 된다.
구체적인 알고리즘 동작과정
(1)
- 가장 먼저 노드의 개수(V) 크기의 부모 테이블을 초기화 한다. 이때 모든 원소가 자기 자신을 부모로 가지도록 설정한다.
- 우리가 실제로 루트를 확인하고자 할 때는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가서 최종적인 루트 노드를 찾아야 한다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 부모 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
(2) union 1, 4
- 첫 번째 union 연산을 확인하면, 1과 4를 합친다. 이 때는 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾으면 된다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 부모 | 1 | 2 | 3 | 1 | 5 | 6 |
(3) union 2, 3
현재 union 연산을 확인하면, 2와 3을 합친다.
따라서 노드 2와 노드 3의 루트 노드를 각각 찾으면 된다.
현재 루트 노드는 각각 2와 3이기 때문에 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 3의 부모를 2로 설정한다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 부모 | 1 | 2 | 2 | 1 | 5 | 6 |
(4) union 2, 4
2와 4를 합친다. 따라서 노드 2와 노드 4의 루트 노드를 각각 찾으면 된다.
현재 루트 노드는 각각 2와 1이기 때문에 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정한다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 부모 | 1 | 1 | 2 | 1 | 5 | 6 |
(5) union 5, 6
마지막 union 연산을 확인하면 5와 6을 합친다. 따라서 노드 5와 노드 6의 루트 노드를 각각 찾으면 된다. 각각 루트 노드가 5, 6이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 6의 부모를 5로 설정한다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 부모 | 1 | 1 | 2 | 1 | 5 | 5 |
부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 한다.
우리는 union 연산을 효과적으로 수행하기 위해 '부모 테이블'을 항상 가지고 있어야 한다는 점이다.
위의 (5) 그림에서 노드 3의 부모노드는 2라고 설정되어 있다.
다만, 노드 2의 부모 노드는 1이기 때문에 최종적으로 노드 3의 루트 노드는 1이라고 볼 수 있다.
서로소 집합 알고리즘으로 루트를 찾기 위해서는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가야 한다는 점이다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')
실행 결과
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6
→ 각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5
→ 부모 테이블: 1 1 2 1 5 5
루트 노드가 같은 원소끼리는 동일한 집합을 이룬다.
전체 원소 {1, 2, 3, 4}와 {5, 6}
➡️ 이때, find 함수가 매우 비효율적이다. 최악의 경우 시간 복잡도가 O(V)이다.
이와 같은 경우, 노드 5의 루트를 찾기 위해서는 '노드 5 → 노드 4 → 노드 3 → 노드 2 → 노드 1' 순서대로 부모 노드를 거슬러 올라가야하므로 최대 O(V)의 시간이 소요될 수 있다.
결과적으로 현재의 알고리즘을 그대로 이용하게 되면 노드의 개수가 V개이고 find 혹은 union 연산의 개수가 M개일 때, 전체 시간 복잡도는 O(VM)이 되어 비효율적이다.
📑 A. 경로 압축 Path Compression 기법
경로 압축 Path Compression 기법을 적용하면 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다.
find 함수 최적화, find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 갱신하는 기법이다.
경로 압축 기법 소스코드
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.
{1, 2, 3, 4, 5} → union 연산 : (4, 5), (3, 4), (2, 3), (1, 2)
이때 모든 union 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 find 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 형성된다.
경로 압축 기법을 이용하게 되면 루트 노드에 더욱 빠르게 접근할 수 있다는 점에서 기존의 기본적인 알고리즘과 비교했을 때 시간 복잡도가 개선된다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 부모 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
개선된 서로소 집합 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')
실행 결과
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6
→ 각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5
→ 부모 테이블: 1 1 1 1 5 5
📑 B. 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도
시간 복잡도
- 노드의 개수가 V개이고, 최대 V - 1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때 경로 압축 방법을 적용한 시간 복잡도는 O(V + M(1 + log (2-M/V) V)) 이다.
- 노드의 개수가 1,000개이고, union 및 find 연산이 총 100만 번 수행된다고 하자.
- 그러면 이 경우 정확하지는 않지만, 대략 V + Mlog(2) V를 계산해서 약 1,000만 번 가량의 연산이 필요하다.
- 코딩 테스트 수준에서는 경로 압축만 적용해도 충분하다.
- 경로 압축은 개념 및 구현이 간단하다는 점에서 코딩 테스트를 치를 때 기억하기 쉽다.
📑 C. 서로소 집합을 활용한 사이클 판별
서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다는 특징이 있다.
union 연산은 그래프에서의 간선으로 표현될 수 있다.
간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복하는 것만으로도 사이클을 판별할 수 있다.
알고리즘
(1) 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
- 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
- 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
(2) 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 (1)번 과정을 반복한다.
사이클을 판별하는 과정
(1)
모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블을 초기화한다.
| 인덱스 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 루트 | 1 | 2 | 3 |
(2)
가장 먼저 간선 (1, 2)를 확인한다. 노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2이다.
따라서 더 큰 번호를 갖는 노드 2의 부모 노드를 1로 변경한다.
| 인덱스 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 루트 | 1 | 1 | 3 |
(3)
이어서 간선 (1, 3)을 확인한다. 노드 1과 노드 3의 루트 노드는 각각 1과 3이다.
더 큰 번호를 갖는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경한다.
| 인덱스 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 루트 | 1 | 1 | 1 |
(4)
이후에 (2, 3) 간선을 확인한다. 다만, 이때 노드 2와 노드 3이 이미 루트 노드로 '노드 1'을 가지고 있다. 다시 말해서 사이클이 발생한다는 것을 알 수 있다. (종료)
이러한 사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작한다.
이 알고리즘은 간선에 방향성이 없는 무방향 그래프에서만 적용 가능하다.
서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클이 발생했습니다.")
else:
print("사이클이 발생하지 않았습니다.")
실행 결과
3 3
1 2
1 3
2 3
→ 사이클이 발생했습니다.
📚 4. 신장 트리
신장 트리는 그래프 알고리즘 문제로 자주 출제되는 문제 유형이다.
- 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
- 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하다.
📖 A. 크루스칼 알고리즘
N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각해보자. 2개의 도시 A, B를 선택했을 때, 도시 A에서 도시 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치하고자 한다. 모든 도시를 '연결'할 때, 최소한의 비용으로 연결하려면 어떤 알고리즘을 이용해야 할까?
➡️ 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 '최소 신장 트리 알고리즘'이라고 한다. 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로는 크루스칼 알고리즘(Kruskal Algorithm) 이 있다.
➡️ 크루스칼 알고리즘을 사용하면 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있는데 크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
크루스칼 알고리즘
(1) 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
(2) 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
- 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
- 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
(3) 모든 간선에 대하여 (2)번의 과정을 반복한다.
다음 그래프의 최소 신장 트리를 구해보자.
최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 '노드의 개수 - 1'과 같다는 특징이 있다.
크루스칼 알고리즘의 핵심 원리 : 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다.
- 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결한다.
- 항상 최적의 해를 보장할 수 있다.
📑 크루스칼 알고리즘을 이용해서 최소 신장 트리를 찾는 과정
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
- 초기 단계에서는 그래프의 모든 간선 정보만 따로 빼내어 정렬을 수행한다.
- 가독성을 위해 노드 데이터 순서에 따라 테이블 내에 데이터를 나열했다.
(1)
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
| 순서 | step 1 |
- 가장 짧은 간선을 선택한다.
- (3, 4)가 선택되고 이것을 집합에 포함한다.
- 노드 3과 노드 4에 대하여
union함수를 수행하면 된다. - 노드 3과 노드4를 동일한 집합에 속하도록 만든다.
(2)
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
| 순서 | step 1 | step 2 |
- 그 다음으로 비용이 가장 작은 가선인 (4, 7)을 선택한다.
- 현재 노드 4와 노드 7은 같은 집합에 속해 있지 않다.
- 노드 4와 노드 7에 대하여
union함수를 호출한다.
(3)
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
| 순서 | step 3 | step 1 | step 3 | step 2 |
- 현재 남아있는 간선 중 비용이 가장 작은 (4, 6)을 선택한다.
- 현재 노드 4와 노드 6은 같은 집합에 속해 있지 않다.
- 노드 4와 노드 6에 대하여
union함수를 호출한다.
(4)
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
| 순서 | step 1 | step 3 | step 2 | step 4 |
- (6, 7)을 선택한다.
- 노드 6과 노드 7의 루트가 이미 동일한 집합에 포함되어 있으므로 신장 트리에 포함하지 않아야 한다.
- 따라서
union함수를 호출하지 않는다. - 포함되지 않는 간선은 점선으로 처리된다.
(5)
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
| 순서 | step 5 | step 1 | step 3 | step 2 | step 4 |
- (1, 2)을 선택한다.
- 현재 노드 1과 노드 2는 같은 집합에 속해 있지 않다.
- 노드 1과 노드 2에 대하여
union함수를 호출한다.
(6)
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
| 순서 | step 5 | step 6 | step 1 | step 3 | step 2 | step 4 |
- (2, 6)을 선택한다.
- 현재 노드 2와 노드 6은 같은 집합에 속해 있지 않다.
- 노드 2와 노드 6에 대하여
union함수를 호출한다.
(7)
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
| 순서 | step 5 | stesp 7 | step 6 | step 1 | step 3 | step 2 | step 4 |
- 간선 (2, 3)을 선택한다.
- 선택된 노드 2와 노드 3의 루트 노드를 확인한다.
- 노드 2와 노드 3의 루트가 이미 동일한 집합에 포함되어 있으므로
union함수를 호출하지 않는다.
(8)
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
| 순서 | step 5 | stesp 7 | step 6 | step 1 | step 3 | step 2 | step 8 | step 4 |
- 간선 (5, 6)을 선택한다.
- 현재 노드 5와 노드 6은 같은 집합에 속해 있지 않다.
- 노드 5와 노드 6에 대하여
union함수를 호출한다.
(9)
| 간선 | (1,2) | (1,5) | (2,3) | (2,6) | (3,4) | (4,6) | (4,7) | (5,6) | (6,7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 비용 | 29 | 75 | 35 | 34 | 7 | 23 | 13 | 53 | 25 |
| 순서 | step 5 | step 9 | stesp 7 | step 6 | step 1 | step 3 | step 2 | step 8 | step 4 |
- (1, 5)를 선택한다.
- 선택된 노드 1과 노드 5의 루트 노드를 확인한다.
- 노드 1과 노드 5의 루트가 이미 동일한 집합에 포함되어 있으므로
union함수를 호출하지 않는다.
최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당한다.
크루스칼 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)
실행 결과
7 9
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25
➡️ 159
크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도
크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.
크루스칼 알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며, E개의 데이터를 정렬했을 때의 시간 복잡도는 O(ElogE)이기 때문이다.
📖 B. 위상 정렬
위상 정렬(Topology Sort)은 정렬 알고리즘의 일종이다.**
- 위상 정렬은 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다.
- 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스리지 않도록 순서대로 나열하는 것'
진입 차수(Indegree) : 특정한 노드로 '들어오는' 간선의 개수를 의미한다.
위상 정렬 알고리즘
(1) 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
(2) 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
- 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
- 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
다음 그래프를 통해 위상 정렬 알고리즘을 적용해보자.
| 노드 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 진입차수 | 0 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 큐 | 노드1 |
|---|
- 진입 차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
- 현재 노드 1의 진입차수만 0이기 때문에 큐에 노드 1만 삽입한다.
(1)
| 노드 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 진입차수 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 |
| 큐 | 노드2, 노드5 |
|---|
- 큐에 들어 있는 노드 1을 꺼낸다.
- 이제 노드 1과 연결되어 있는 간선들을 제거한다.
- 새롭게 노드 2와 노드 5의 진입차수가 0이 된다.
- 노드 2와 노드 5를 큐에 삽입한다.
- 처리된 노드와 간선은 점선으로 표기한다.
(2)
| 노드 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 진입차수 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 |
| 큐 | 노드5, 노드3 |
|---|
- 큐에 들어 있는 노드 2를 꺼낸다.
- 노드 2와 연결되어 있는 간선들을 제거한다.
- 노드 3의 진입차수가 0이 된다.
- 노드 3을 큐에 삽입한다.
(3)
| 노드 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 진입차수 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 1 |
| 큐 | 노드3, 노드6 |
|---|
- 큐에 들어 있는 노드 5를 꺼낸다.
- 노드 5와 연결되어 있는 간선들을 제거한다.
- 새롭게 노드 6의 진입차수가 0이 된다.
- 노드 6을 큐에 삽입한다.
(4)
| 노드 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 진입차수 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 큐 | 노드6 |
|---|
- 큐에 들어 있는 노드 3을 꺼낸다.
- 노드 3과 연결되어 있는 간선들을 제거한다.
- 이번 단계에서는 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.
(5)
| 노드 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 진입차수 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 큐 | 노드4 |
|---|
- 큐에 들어 있는 노드 6을 꺼낸다.
- 노드 6과 연결되어 있는 간선을 제거한다.
- 노드 4의 진입차수가 0이 된다.
- 노드 4를 큐에 삽입한다.
(6)
| 노드 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 진입차수 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 큐 | 노드7 |
|---|
- 큐에 들어 있는 노드 4를 꺼낸다.
- 노드 4와 연결되어 있는 간선을 제거한다.
- 새롭게 노드 7의 진입차수가 0이 된다.
- 따라서 노드 7을 큐에 삽입한다.
(7)
| 노드 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 진입차수 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 큐 |
|---|
- 큐에 들어 있는 노드 7을 꺼낸다.
- 노드 7과 연결되어 있는 간선을 제거해야 한다.
- 이번 단계에서는 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.
큐에 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면, 그것이 바로 위상 정렬을 수행한 결과가 된다.
위상 정렬의 답안은 여러 가지가 될 수 있다는 점이 특징이다.
한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우, 위의 예시에서는
- 1 - 2 - 5 - 3 - 6 - 4 - 7
- 1 - 5 - 2 - 3 - 6 - 4 - 7
이 될 수 있다.
위상 정렬 소스코드
from collections import deque
# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
# 진입 차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end=' ')
topology_sort()
실행 결과
7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4
➡️ 1 2 5 3 6 4 7
위상 정렬의 시간 복잡도
위상 정렬의 시간복잡도 : O(V+E)
위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다.
결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(V+E)의 시간이 소요되는 것이다.
📚 5. 문제
📖 A. 팀 결성
전형적인 서로소 집합 알고리즘 문제
- 범위가 100,000 이상이니 경로 압축 방식의 서로소 집합 자료구조를 이용하여 시간 복잡도를 개선해야 한다.
- 이전 서로소 집합 알고리즘에서 'YES' 또는 'NO'를 출력하도록 하면 정답 판정을 받을 수 있다.
소스
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_def(parent, data):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[data] != data:
parent[data] = find_def(parent, parent[data])
return parent[data]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_def(parent, a, b):
a = find_def(parent, a)
b = find_def(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
n, m = map(int, input().split())
parent = [0] * (n + 1) # 부모 테이블 초기화
graph = []
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for idx in range(1, n + 1):
parent[idx] = idx
# 각 연산을 하나씩 확인
for idx in range(0, m):
num, a, b = map(int, input().split())
# 합집합(union) 연산인 경우
if num == 0:
union_def(parent, a, b)
# 찾기(find) 연산인 경우
else:
if find_def(parent, a) == find_def(parent, b):
print("YES")
else:
print("NO")
📖 B. 도시 분할 계획
가장 간단한 방법 : 크루스칼 알고리즘으로 최소 신장 트리를 찾은 뒤에 최소 신장 트리를 구성하는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선을 제거하는 것이다.
- 이럴 경우, 두 개의 공간, 2개의 부분 그래프로 나누어지며 최적의 해를 만족한다.
(1) 유지비를 기준으로 정렬을 수행한다.
(2) 현재 노드들의 부모 노드를 찾은 후 다르다면 연결한다. (연결하면 부모 노드가 하나가 된다.)
(3) 모두의 부모가 공통적이라면, 최소 신장 트리는 종료를 하면 된다.
(4) 마지막으로 추가된 유지비를 총 유지비의 합에서 빼주면 된다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
last = 0 # 최소 신장 트리에 포함되는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
last = cost
print(result - last)
📖 C. 커리큘럼
- 위상 정렬 알고리즘의 응용문제이다.
- 각 노드(강의)에 대하여 인접한 노드를 확인할 때, 인접한 노드에 대하여 현재보다 강의 시간이 더 긴 경우를 찾는다면, 더 오랜 시간이 걸리는 경우의 시간 값을 저장하는 방식으로 결과 테이블을 갱신하여 답을 구할 수 있다.
- 위상 정렬을 수행하면서, 매번 간선 정보를 확인하여 결과 테이블을 갱신한다.
deepcopy()
deepcopy()함수를 이용하여time리스트 변수의 값을 복사하여result리스트 변수의 값으로 설정하는 작업이 수행된다.- 리스트의 값을 복제해야할 때는
deepcopy()함수를 사용한다.
from collections import deque
import copy
# 노드의 개수 입력받기
v = int(input())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 각 강의 시간을 0으로 초기화
time = [0] * (v + 1)
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for i in range(1, v + 1):
data = list(map(int, input().split()))
time[i] = data[0] # 첫 번째 수는 시간 정보를 담고 있다.
for x in data[1:-1]:
indegree[i] += 1
graph[x].append(i)
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = copy.deepcopy(time) # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1빼기
for i in graph[now]:
result[i] = max(result[i], result[now] + time[i])
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in range(1, v + 1):
print(result[i])
topology_sort()
