Part2, 최단 경로

LeeKyoungChang·2022년 1월 1일

python 이것이 코딩 테스트다

Algorithm

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📚 가장 빠른 길 찾기 (다익스트라 이론)

최단 경로(Shortest Path) 알고리즘

가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘, '길 찾기' 문제

다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다.

그래프

노드 : 각 지점

간선 : 지점 간 연결된 도로

최단 경로 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜 알고리즘이 코딩 테스트에서 가장 많이 등장하는 유형이다.

유형만 파악해도 코딩 테스트 수준에서 최단 경로 문제는 어렵지 않게 해결할 수 있다.

그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다.

📚 다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다. (음의 간선 : 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미)

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.

매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

다익스트라 알고리즘 : 다익스트라의 최단 경로 알고리즘

1차원 리스트 : 최단 거리 테이블

다익스트라 알고리즘의 원리
(1) 출발 노드를 설정한다.
(2) 최단 거리 테이블을 초기화한다.
(3) 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
(4) 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
(5) 위 과정에서 (3)과 (4)번을 반복한다.

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다.
매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법
(1) 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
(2) 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드 (이를 중심으로 공부)

다익스트라 알고리즘의 동작 원리

1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제
(1) 초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 '무한'으로 초기화한다.

소스 코드에서 '무한'이라는 값을 대입할 때는 int(1e9)를 사용한다.
1e9 : 10억

노드 번호 1 2 3 4 5 6
거리 0 무한 무한 무한 무한 무한

(2) 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인한다.

2번, 3번, 4번 노드
최소 비용 : 2(0 + 2), 5(0 + 5), 1(0 + 1)

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	5	1	무한	무한

(3) 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드는 4번 노드

4번 노드에서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번
1번노드에서 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로, 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용 : 4(1 + 3), 2(1 + 1)이다.
이 두 값은 기존의 리스트에서 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신된다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	4	1	2	무한

(4) 2번 노드가 선택된다.

2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같을 때는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다.
2번 노드를 거쳐서 가는 경우, 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	4	1	2	무한

(5) 5번 노드가 선택된다.

5번 노드를 거쳐 3번과 6번 노드로 갈 수 있다.
3번 노드까지 거리 : 2 + 1 = 3
6번 노드까지 거리 : 2 + 2 = 4

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	3	1	2	4

(6) 3번 노드를 선택한 뒤에 동일한 과정을 반복한다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	3	1	2	4

(7) 6번 노드를 선택한 후 같은 과정을 반복한다.
최종 최단 거리 테이블

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	3	1	2	4

다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택'하는 과정을 반복한다.
한번 선택된 노드는 최단 거리가 감소하지 않는다.
다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것이다.

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

V : 노드의 개수
각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다.
단계마다 '방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택' 하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.
sys.std.readline() : input()을 더 빠르게 동작하는 입력 소스
노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 하였다.

일반적인 다익스트라 코드

# 간단한 예제
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1 개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 없는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

간단한 다익스트라 알고리즘으 시간 복잡도
시간 복잡도 : O(V^2), 총 O(V)번 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인할 때 나온 값
노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 풀 수 있다.
노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 이 코드로는 문제를 해결할 수 없다.
노드의 개수 및 간선의 개수가 많을 때는 '개선된 다익스트라 알고리즘'을 이용해야 한다.

방법2. 개선된 다익스트라 알고리즘

V : 노드의 개수
E : 간선의 개수

개선된 다익스트라 알고리즘에서는 Heap 자료구조를 사용한다.

힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.

시간 복잡도 ex) N = 1,000,000일 때 lgN 으로 20

속도가 획기적으로 빨라진다.

힙 설명
힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조이다.
우선순위 큐 : 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다.

자료구조	추출되는 데이터
스택(Stack)	가장 나중에 삽입된 데이터
큐(Queue)	가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority Queue)	가장 우선순위가 높은 데이터

우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다.
우선순위 큐 지원하는 라이브러리 : PriorityQueue 또는 heapq

PriorityQueue 보다는 일반적으로 heapq 가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행 시간이 제한된 상황에서는 heapq를 사용하는 것을 권장한다.

ex) 물건 데이터 (가치, 물건)

항상 가치가 높은 물건이 먼저 나오게 된다.
첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정한다. ('가치' 값이 우선순위 값이 되는 것이다.)

우선순위 큐를 구현할 때, Min Heap or Max Heap을 사용한다.

최소 힙 : 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제된다.

최대 힙 : 값이 큰 데이터가 먼저 삭제된다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.
최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 : 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다.

우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
리스트	O(1)	O(N)
힙(Heap)	O(logN)	O(logN)

데이터의 개수가 N개일 때, 힙 자료구조에 N개의 데이터를 모두 넣은 뒤에 다시 모든 데이터를 꺼낼 때 시간 복잡도는?
삽입 : O(NlogN)
삭제 : O(NlogN)
전체 시간 복잡도 : O(NlogN)

힙은 '우선순위 큐'를 구현하는 데 가장 많이 사용된다.
최소 힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 값이 작은 원소'가 추출되는 특징이 있다.

Heap을 이용한 다익스트라 알고리즘 동작 원리
이전 동작 원리와 유사하지만, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다.
1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제

(거리: 0, 노드: 1)
가장먼저 튜플 (0, 1)을 우선순위 큐에 넣는다.
파이썬의 heapq 라이브러리는 원소로 튜플을 입력받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다.
(거리, 번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	무한	무한	무한	무한	무한

우선순위 큐	(거리: 0, 노드: 1)

(1) 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인한다.

우선순위 큐에서 원소를 꺼내면 (0, 1)
2번, 3번, 4번 노드
1번 노드를 기준 최단 거리 : 2(0 + 2), 5(0 + 5), 1(0 + 1)
더 짧은 경로를 찾은 노드 정보들은 우선순위 큐에 넣는다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	5	1	무한	무한

우선순위 큐	(거리: 1, 노드: 4), (거리: 2, 노드: 2), (거리: 5, 노드: 3)

(2) 우선순위 큐에서 (1, 4)의 값을 갖는 원소가 추출된다.

아직 노드 4를 방문하지 않았다.
4번 노드에서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번
1번노드에서 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로, 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용 : 4(1 + 3), 2(1 + 1)이다.
이 두 값은 기존의 리스트에서 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신된다.
큐에 (4, 3)와 (2, 5)라는 두 원소가 추가로 들어가게 된다.
튜플의 첫 번째 원소 (거리)가 작은 순서대로 왼쪽부터 정렬한다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	4	1	2	무한

우선순위 큐	(거리: 2, 노드: 2), (거리: 2, 노드: 5), (거리: 4, 노드: 3), (거리: 5, 노드: 3)

(3) (2, 2)가 추출된다. 2번 노드에 대해 처리된다.

2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같을 때는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다.
2번 노드를 거쳐서 가는 경우, 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.
현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.
우선순위 큐에 어떠한 원소도 들어가지 않고 리스트가 갱신된다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	4	1	2	무한

우선순위 큐	(거리: 2, 노드: 5), (거리: 4, 노드: 3), (거리: 5, 노드: 3)

(4) 5번 노드에 대해 처리된다.

5번 노드까지 최단 거리가 2이므로, 3번과 6번 노드로 갈 수 있다. (기존 값보다 계산 값이 더 작다)
3번 노드까지 거리 : 2 + 1 = 3
6번 노드까지 거리 : 2 + 2 = 4
(3, 3)과 (4, 6)이 우선순위 큐에 들어간다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	3	1	2	4

우선순위 큐	(거리: 3, 노드: 3), (거리: 4, 노드: 3), (거리: 4, 노드: 6), (거리: 5, 노드: 3)

(5) 3번 노드를 선택한 뒤에 동일한 과정을 반복한다. 최단 거리 테이블이 갱신되지 않는다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	3	1	2	4

우선순위 큐	(거리: 4, 노드: 3), (거리: 4, 노드: 6), (거리: 5, 노드: 3)

(6) 원소(4, 3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.

거리가 기존 테이블에 저장되어 있는 값보다 크므로 처리된 것으로 본다.

노드 번호 1 2 3 4 5 6
거리 0 2 3 1 2 4

우선순위 큐	(거리: 4, 노드: 6), (거리: 5, 노드: 3)

(7) 이어서 원소 (4, 6)이 꺼내진다.

6번 노드에 대해서 처리하면 다음과 같다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
거리	0	2	3	1	2	4

우선순위 큐	(거리: 5, 노드: 3)

(8) 마지막으로 남은 원소를 꺼내지만, 이미 처리된 노드이므로 무시한다.
|노드 번호| 1 |2|3|4|5|6|
|-|-|-|-|-|-|-|
|거리|0|2|3|1|2|4|

우선순위 큐

파이썬에서 표준 라이브러리로 제공하는 PriorityQueue 와 heapq 는 데이터의 개수가 N개 일 때, 하나의 데이터를 삽입 및 삭제할 때의 시간 복잡도 : O(logN)
이전 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 선택하는 다익스트라 최단 경로 소스와 유사하지만, get_smallest_node() 라는 함수를 작성할 필요가 없다. (우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체)

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)


# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 겨우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

개선된 다익스트라 알고리즘 시간 복잡도 : O(ElogV)

한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않는다.

'현재 우선순위 큐'에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인'하는 총 횟수는 총 최대 간선의 개수(E) 만큼 연산이 수행될 수 있다.

다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 최대 E개의 간선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 빼는 것이므로, O(ElogE)이다.

중복 간선을 포함하지 않는 경우, E는 항상 V^2보다 작다.

다익스트라 알고리즘의 전체 시간 복잡도를 간단히 O(ElogV)라고 볼 수 있다.

참고

Heap을 이용하고 싶을 때 : '항상 가장 작은 값이 먼저 나온다'라는 특징을 지키면서, 단일 데이터의 삽입과 삭제 연산을 O(logN)에 수행하는 heapq 라이브러리를 이용하면 된다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 우선순위 큐를 이용한다는 점에서 우선순위 큐를 필요로 하는 다른 문제 유형과도 흡사하다는 특징이 있다.

최단 경로를 찾는 문제를 제외하고도 다른 문제에도 두루 적용되는 소스코드 형태라고 이해할 수 있다.

📚 플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall Algorithm)

'모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있다.

2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다.

다익스트라 알고리즘과 같은 점 및 다른 점

플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다.

매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다익스트라 알고리즘과 다르다.

다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘, 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘은 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문에, 다이나믹 프로그래밍으로 볼 수 있다.

총 시간 복잡도 : O(N^3)

노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행

단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는' 모든 경로를 고려한다.

2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O(N^2)의 시간이 소요된다.

N - 1개의 노드(현재 노드 제외) 중에서 서로 다른 노드 (A, B)쌍을 선택한다.

이후에 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 뒤에 최단 거리를 갱신한다.

n-1 P 2 (순열조합 n-1 P r) 개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인하면 된다.

O(n-1 P 2)는 O(N^2)라고 볼 수 있기 때문에, 전체 시간 복잡도는 O(N^3) 이라고 할 수 있다.

점화식 (k번의 단계)
Dab = min(Dab, Dak + Dkb)
➡️ 전체적으로 3중 반복문을 이용하여 이 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갱신하면 된다.
➡️ 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용'을 비교하여 더 작은 값으로 갱신한다.
➡️ '바로 이동하는 거리'가 '특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리'보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다.

예시

KakaoTalk_Photo_2021-12-29-22-30-03 001
Dab : a에서 b로 가는 최단 거리이다.
자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0이므로, (1 <= i <= n)의 범위를 가지는 모든 i에 대하여 Dii는 0이라는 값으로 초기화한다. (왼쪽위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선에 놓인 모든 원소는 0이다.)

(1)
KakaoTalk_Photo_2021-12-29-22-30-03 002

단순히 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다.
3P2 = 6가지 경우에 대해서 고민하면 된다.
계산해야할 값
D23 = min(D23, D21 + D13)
D24 = min(D24, D21 + D14)
D32 = min(D32, D31 + D12)
D34 = min(D34, D31 + D14)
D42 = min(D42, D41 + D12)
D43 = min(D43, D41 + D13)
6가지 경우만 하나씩 확인하며 값을 계산하여 갱신한다.
D23 = min(D23, D21 + D13) 은 '기존의 2번 노드에서 3번 노드로 가는 비용' 보다 '2번 노드에서 1번 노드를 거쳐 3번 노드로 가는 비용'이 더 작다면, 그것으로 갱신하면 된다.

KakaoTalk_Photo_2021-12-29-22-30-03 004

(2)

2번 노드를 거쳐 가는 경우를 계산해야 하므로 2번 노드를 제외한 1번, 3번, 4번 노드에서 2개의 노드를 뽑는 경우를 고려한다.
(1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 4), (4, 1), (4, 3)으로 6가지 경우가 있다.
각각의 위치를 하늘색으로 표시하였으며, 6가지 값만 갱신하면 된다.
D13은 원래 '무한'의 값을 가졌는데, D12 + D13 = 11과 비교해서 11로 갱신된다.

KakaoTalk_Photo_2021-12-29-22-30-04 006

(3)

3번 노드에 대해서도 동일한 과정을 반복하면 된다.
3번을 제외하고 1번, 2번, 4번 중에서 두 쌍을 선택하는 경우 : (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (4, 1), (4, 2) 갱신한다.

KakaoTalk_Photo_2021-12-29-22-30-04 008

(4)

4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하면 다음과 같다.

최종 결과
노드의 개수가 4개이므로 총 (4)까지 총 4번 알고리즘을 수행한다.
최종적으로 테이블의 형태는 이와 같다.

KakaoTalk_Photo_2021-12-29-22-30-04 011

여기 기록되어 있는 내용이 모든 노드에서 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 표현하고 있다.
ex) D13 (첫 번째 행의 세 번째 열)은 8이라는 값을 가지고 있는데, 이는 1번 노드에서 3번 노드로 가는 최단거리가 8이라는 의미이다.

플로이드 워셜 알고리즘 소스코드

INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")

    print()

시간 복잡도 : O(N^3)

📚 문제

📖 9-2 미래 도시

플로이드 워셜 알고리즘 문제이다.

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자시능로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):

    # a, b가 서로에게 가는 비용을 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
result = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if result >= INF:
    print(-1)
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(result)

📖 9-3 전보

한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있으므로 다익스트라 알고리즘을 이용해 풀 수 있다. 또한 N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에, 우선순위 큐를 이용하여 다익스트라 알고리즘을 작성해야 한다.

import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline

INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 z라는 의미
    graph[x].append((y, z))


def dijstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q:  # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue

        # 현재 노드의 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]

            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))


# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0

# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != INF:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1 출력
print(count - 1, max_distance)