벡터 이론

1. 벡터(Vector)란?

1.1 벡터의 정의

벡터는 방향과 크기를 동시에 가진 수학적 개념입니다.

• 방향 → 화살표로 나타냅니다.
• 크기 → 숫자(길이)로 표현합니다.
• 표기법: 문자 위에 화살표를 사용합니다. 예: ($\vec{v}$)

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1.2 벡터의 예시

1. 2차원 벡터:
   • 예: ($\vec{v}$ = (a, b)) → x축 방향의 값이 a, y축 방향의 값이 b인 벡터.
2. 3차원 벡터:
   • 예: ($\vec{v}$ = (x, y, z)) → x, y, z축의 값을 가지며 3D 위치를 표현합니다.

결론: 벡터는 위치나 이동, 방향을 표현할 때 사용됩니다.

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2. 단위 벡터(Unit Vector)와 정규화(Normalization)

2.1 단위 벡터란?

단위 벡터는 크기가 1인 벡터를 의미합니다.

• 벡터를 정규화(Normalization)하면 단위 벡터가 됩니다.

2.2 단위 벡터 구하는 법

1. 주어진 벡터: ($\vec{v}$ = (a, b)).
2. 벡터의 크기(Length): ($c$ = $\sqrt{a^2 + b^2}$).
3. 단위 벡터: ($\vec{u}$ $=$ $left$ ($\frac{a}{c}$, $\frac{b}{c}right$)).

2.3 단위 벡터의 특징

• 방향만 나타내는 벡터입니다.
• 크기는 항상 1입니다.

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3. 벡터의 덧셈과 뺄셈

3.1 벡터의 덧셈

벡터의 덧셈은 각 좌표 값을 더하는 방식으로 이루어집니다.

• 공식: (\vec{v_1} + \vec{v_2} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)).

예시:
[$\vec{v_1}$ = $(1, 2)$, $\quad$ $\vec{v_2}$ = $(3, 4)$]
[$\vec{v_1}$ + $\vec{v_2}$ = $(1+3, 2+4) = (4, 6)$]

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3.2 벡터의 뺄셈

벡터의 뺄셈은 각 좌표 값을 빼는 방식입니다.

• 공식: ($\vec{v_1}$ - $\vec{v_2}$ = ($x_1 - x_2$, $y_1 - y_2$)).

예시:
[$\vec{v_1}$ = $(1, 2)$, $\quad$ $\vec{v_2}$ = $(3, 4)$]
[$\vec{v_1}$ - $\vec{v_2}$ = $(1-3, 2-4)$ = $(-2, -2)$]

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3.3 벡터의 시작점과 끝점

벡터의 시작점과 끝점을 알 때, 두 점의 차이로 벡터를 구할 수 있습니다.

• 공식: ($\vec{AB}$ = $\vec{B}$ - $\vec{A}$ = ($x_2 - x_1, y_2 - y_1$)).

예시:

• (A(1, 1)), (B(3, 3)):
  [$\vec{AB}$ = $(3-1, 3-1) = (2, 2)$]

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4. 위치 벡터(Position Vector)

4.1 위치 벡터란?

위치 벡터는 좌표값을 사용해 특정 위치를 나타내는 벡터입니다.

• 예: ($Vector$ = $(x, y, z)$).

4.2 예시

• (A(3, 4)) → 위치 벡터: ($\vec{OA}$ = $(3, 4)$).
• 벡터는 원점(0, 0)에서 시작하여 점 (A)까지 이어지는 화살표로 표현됩니다.

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5. 벡터의 활용: 블루프린트

1. 이동과 방향 표현:

   • 캐릭터의 위치 이동과 방향 설정에 사용됩니다.

2. 속도와 가속도 표현:

   • 벡터의 크기와 방향으로 속도나 가속도를 표현합니다.

3. 물리적 계산:

   • 힘, 속력 등을 계산하는 데 활용됩니다.

4. 정규화:

   • 벡터를 단위 벡터로 변환해 방향만 필요할 때 사용됩니다.

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