📈 그래프 이론

📈 서로소 집합(Disjoint Sets)

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
• 서로소 집합 정보(합집합 언산)가 주어졌을 때 트리 자료 구조를 이용해 집합을 표현함
• union(합집합) : 연산을 확인하며, 서로 연결된 두 노드 확인

## 서로소집합
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
      parent[b] = a
    else:
      parent[a] = b

## 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 만약 초기화해놨던 다르다면
    # => 루트 노드가 아니라면 루트 노드를 찾을때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

## 경로 단축 사용
def find_parent(parent, x):
    # 만약 초기화해놨던 다르다면
    # => 루트 노드가 아니라면 루트 노드를 찾을때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

v, e = map(int, input().split())
parent = [i for i in range(v+1)]

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

print("각 원소가 속한 집합 : ", end="")
for i in range(1, v+1):
  print(find_parent(parent, i), end=" ")

print()

print("부모 테이블  : ", end="")
for i in range(1, v+1):
    print(parent[i], end=' ')

📈 경로 함축을 사용한 서로소 집합 알고리즘

## 서로소집합
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

## 경로 단축 사용
def find_parent(parent, x):
    # 만약 초기화해놨던 다르다면
    # => 루트 노드가 아니라면 루트 노드를 찾을때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

v, e = map(int, input().split())
parent = [i for i in range(v+1)]

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

print("각 원소가 속한 집합 : ", end="")
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end=" ")

print()

print("부모 테이블  : ", end="")
for i in range(1, v+1):
    print(parent[i], end=' ')

📈사이클 판별 알고리즘

def find_parent(parent, x):
  if parent[x] != x:
    return find_parent(parent, parent[x])
  else:
    return parent[x]

def union_parent(parent, a, b):
  a = find_parent(parent, a)
  b = find_parent(parent, b)
  if a < b:
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b

v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1)

for i in range(1, v+1):
  parent[i] = i

cycle = False
for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
    cycle = True
    break
  else:
    union_parent(parent, a, b)
  if cycle:
    print("사이클 발생")
  else:
    print("사이클 노발생")

📈 신장 트리

• 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

📈 크루스칼 알고리즘

• 최소 신장트리 알고리즘으로 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결하는 그래프 알고리즘으로 분류된다.
• 구체적인 알고리즘은 아래와 같다.
  1. 간선 데이텅를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
  2. 간선을 하나씩 확인하여 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
  3. 만약 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
  4. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
  5. 모든 간선에 대해 위의 과정을 반복한다.
• 크루스칼 알고리즘 시간 복잡도 : O(ElogE)

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    else:
        return parent[x]
    
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a<b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

v, e = map(int, input().split())
parent = [0]*(v+1)
edges = []
result = 0

for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

for i in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append((cost,a,b))

edges.sort()

for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

📈 위상 정렬

• 방향 그래프의 모든 노드를 ‘방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것
• 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례로 수행해야 할 때 사용한다.
• 진입차수 : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 위상 정렬 알고리즘
  • 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
  • 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 추잘하는 간선을 그래프에서 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다
  • 큐가 빌때까지 반복한다.
• 위상정렬 시간복잡도 : O(ElogE)

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v+1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph =[[] for i in range(v+1)]

for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  graph[a].append(b) # 정점 a에서 b로 이동 가능
  indegree[b] += 1 # b의 진입차수 1 증가

def topology_sort():
  result = []
  q = deque()

  for i in range(1, v+1):
    if indegree[i] == 0:
      q.append(i)
  # 큐가 빌때까지 반복
  while q:
    # 큐에서 원소 꺼내기
    now = q.popleft()
    result.append(now)
    for i in graph[now]:
      indegree[i] -= 1
      if indegree[i] == 0:
        q.append(i)

  for i in result:
    print(i, end=' ')

topology_sort()