Causal inference

1 Counterfactual model

1.1 Background

인과추론의 공식적인 모델로 $\text{counterfactual model}$을 채택한 이유는 인과추론의 기본적인 정의가 다양하고 정립된 것이 없기 때문에 그 중 $\text{confounding}$분석에서 $\text{conterfactual}$과 $\text{potential outcomes}$ 접근법이 유용한 것으로 입증되었기 때문입니다[1]. 인과추론을 위한 통계적 방법을 도출하는 데 필요한 정의는 Neyman(1923)의 통계 문헌에 처음으로 나타났습니다. 인과 효과 개념은 다음과 같습니다.

$N$명의 개인 (예: 개인, 집단, 객체)이 실험에서 관찰되며, 각 개인은 $K+1$개의 처치 $(x_0, x_1, ..., x_K)$ 중 하나를 받습니다. 단위 $i$에 대한 관심 결과는 반응 변수 $Y_i$의 값입니다. 단위 $i$가 처치 $x_k$를 받으면 $Y_i=y_{ik}\ \{y_{i0},y_{i1},\ldots,y_{in}\}$와 같습니다. (개별) 인과 효과는 어떤 한 개인이 만약 다른 치료를 받았을 경우에 치료 효과와 실제 받은 치료 효과를 비교하는 것이다[1].

$y_{ik} - y_{ij}$

Neyman의 정의는 $\text{potential outcomes model}$로도 불리며, 각 개인은 하나의 치료만 받기 때문에 잠재 결과 $y_{ik}$ 중 하나만 관찰할 수 있습니다. 따라서 개인별 인과효과 $y_{ik} - y_{i0}$는 관찰할 수 없습니다. 실제로 발생하지 않아 관찰할 수 없는 잠재결과의 분포를 가정한다는 이유로 $\text{counterfactual}$ 접근법은 때때로 비판받습니다[1].

잠재결과 분포의 일부 중요한 특징은 실증적으로 검증할 수 없으며, 따라서 $\text{counterfactual approach}$에 기반한 일부 인과추론은 전적으로 검증 불가능한 가정 (1. $\text{confounding}$이 없다는 가정, 2. 개별 개체의 감수성 $\text{(susceptibilities)}$ 이나 반응변수의 독립성에 대한 가정)에 의존하게 됩니다 (Dawid, 1998). 하지만 greenland(1999)는 이러한 점을 $\text{counterfactual approach}$의 약점이 아니라 오히려 강점이라고 주장합니다[1].

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1.2 Formalization

개별 인과효과를 추정하는 것은 어렵기 때문에 모집단을 대상으로 인과효과를 추정합니다. 모집단 효과는 서로 다른 치료 하에서 평균 모집단 효과 차이로 정의되거나 더 일반적으로 각 치료의 주변부 분포의 차이로 정의합니다[1].

따라서 일반적인 인과효과 추정은 예측모델 등 공변량을 조정한 조건부 모델이 아닌 주변부 모델을 이용한다. 예를 들어, $x_1$이 모집단 $A$에 적용될 경우 $\mu=\mu_{A1}$이 되고, $x_0$이 적용될 경우 $\mu_{A0}$이 된다면, $x_1$과 $x_0$의 (평균) 인과효과는 다음과 같이 측정할 수 있습니다.

만약 모집단 $A$가 치료 $x_1$ 하에서 관찰되면, $\mu$는 $\mu_{A1}$이 되어 이는 관찰 가능하거나 추정 가능하지만, $\mu_{A0}$는 관찰되지 않습니다. 위에서도 언급한 이 한계로 인해 데이터로부터 인과효과 추정을 직접 할 수 없습니다. 대안 방법은 $\mu_{A0}=\mu_{B0}$를 가지는 참조 모집단 $B$를 얻는 것입니다. 이러한 집단을 모집단 $A$와 교환 가능 $(\text{exchangeable})$하다고 말합니다. 특히 무작위 연구에서는 $\text{unconditional exchangeable}$를 만족하므로 $\mu_{A0}$과 $\mu_{B0}$사이의 무작위 차이로 인해 $\mu_{A0}$을 $\mu_{B0}$로 대체 가능하여 $\mu_{A1} - \mu_{A0}$ 추론을 유도할 수 있게 해줍니다.

이 때 모집단 $A$에서 모집단 개인 전체가 치료 $x_1$을 받았을 때와 받지 않았을 때 효과를 측정하는 $\mu_{A1}-\mu_{A0}$는 (평균) 인과효과이며 두 모집단을 통틀어 치료를 받은 개인과 치료를 받지 않은 개인별 결과의 효과를 측정하는 $\mu_{A1}-\mu_{B0}$는 (개별) 연관 효과입니다.

$\mu_{A0}$ 대신 $\mu_{B0}$를 대입하여 얻은 $\text{naive (crude) association}$ 모수가 $\text{causal}$ 모수와 같지 않을때, 이 $\text{association}$ 모수는 $\text{confounding}$되었다고 할 수 있습니다. 예를 들어, $\mu_{B0}\neq\mu_{A0}$일 경우, $\mu_{A1}-\mu_{B0}$는 모집단 $A$에서 치료 $x_1$의 효과인 $\mu_{A1}-\mu_{A0}$와는 다릅니다. 따라서 $\mu_{A1}-\mu_{B0}$와 같은 $\text{association}$ 모수가 $\mu_{A1}-\mu_{A0}$라는 $\text{causal}$ 모수에 $\text{confounding}$을 일으킨다고 말하는 것은 두 모수가 같지 않다는 것과 동의어입니다. 참고로 $\text{confounding}$을 없다고 가정하는 것은 현실적이지 않습니다. 따라서 위에서 언급한 교환가능성 $(\text{exchangeable})$이 성립하는 모집단을 구축하는 것이 목표입니다.

무작위 대조 실험 $\text{(RCT;}$ $\text{randomized controlled trial)}$에서는 $\mu_{A0}=\mu_{B0}$이 성립하므로 통계적 방법을 사용하지 않고 직접 인과효과 추정이 가능합니다. 하지만 비무작위 연구에서는 치료군 간 공변량이 체계적 (치료 외의 다른 요인)으로 다르기 때문에 ($\mu_{A0}\neq\mu_{B0}$) $\text{confounding}$문제가 발생한다. 이 경우 $\mu_{A0}$ 대신 $\mu_{B0}$를 대입하여 얻은 $\text{naive (crude)}$ 연관효과는 인과효과와 같지 않습니다.

• $\text{RCT}$에서도 치료 할당, 투여 및 준수에서의 체계적인 요소들, 그리고 비교군 간의 무작위 차이들 때문에 $\text{confounding}$이 발생할 수 있습니다.

따라서 인과 효과를 추정하는 비무작위 연구에서 $\text{confounding}$을 고려하여 편향없는 인과효과를 추정하도록 노력해야합니다. 무작위 연구처럼 비무작위 연구에서 교환가능성 $(\text{exchangeable})$이 성립하기 위해서는 강한 무시 가능성 $(\text{strongly ignorable})$을 만족하여야 합니다. 강한 무시가능성을 만족하기 위한 두가지 가정은 다음과 같습니다.

1. $Z\perp \{y_0,y_1\ldots,y_k\}|X$

2. $0<\Pr(Z=1|X)<1$

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Apendix

이 때 두 모집단을 통틀어 치료를 받은 개인과 치료를 받지 않은 개인별 결과의 효과를 측정하는 $\mu_{A1}-\mu_{B0}$는 (개별) 연관 효과이며 확률로 $\Pr(Y=1|X=x)$와 같이 표현합니다. 모집단 $A$에서 모집단 개인 전체가 치료 $x_1$을 받았을 때와 받지 않았을 때 효과를 측정하는 $\mu_{A1}-\mu_{A0}$는 (평균) 인과효과이며 확률로 $\Pr(Y_x=1)$와 같이 표현합니다. 일반적으로 연관 측도와 인과 측도는 동일하지 않습니다[2]. $\text{associational}$ $\text{risk difference}$를 예로 들어보겠습니다.

$\phi = \Pr(Y=1|T=t)$: $Y$와 $T$ 사이의 연관성 척도

$\mu=\Pr(Y_x=1)$: 모집단의 인과성 척도

식 $(1),(2)$를 비교해 보면, 왜 연관 척도 $\text{(associational measures)}$와 인과적 효과 척도 $\text{(causal effect measures)}$를 구분해야 하는지 분명해집니다. 치료를 $Rx$ 또는 $C$로 고정하는 개입 $\text{(intervention)}$은 치료와 기초 공변량 간의 의존성을 "제거"하기 때문입니다.

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• References

1. Greenland, S., Robins, J. M., & Pearl, J. (1999). Confounding and collapsibility in causal inference. Statistical Science, 14,29–46. 번역본

2. Didelez, V.; Stensrud, M.J. On the logic of collapsibility for causal effect measures. Biom. J. 2021. 번역본