적률추정법

4.1 적률추정법

일반적으로 모적률 $\mu_r'$은 모수벡터 $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_k)$의 함수이므로 $k$개의 연립방정식

$m_j'=\mu_j'(\theta_1,\ldots,\theta_k),\quad j=1,\ldots,k$

를 풀면 $(\hat{\theta_1},\ldots,\hat{\theta_k})$를 구할 수 있을 것이며, 이를 $(\theta_1,\ldots,\theta_k)$에 대한 적률추정량이라고 한다.

이는 대수 법칙에 의하여 $r$차 모적률이 존재할 때 $r$차 표본적률이 $r$차 모적률로 표본의 크기가 커짐에 따라 확률적으로 수렴한다는 사실에 기초한 방법으로서, $n$이 크다면 표본적률이 확률적으로 모적률에 매우 가깝게 되므로 표본적률을 이용하여 모적률을 추정하는 것은 합리적인 방법이라고 할 수 있다.

참고
모수벡터 $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_n)$를 갖는 확률분포에서 $X=(X_1,\ldots,X_n)$의 표본을 뽑는다고 하자.

모분포의 $r$차 적률:

$r$차 표본적률:

$\\[20pt]$

예 4.2
$X_1,\ldots,X_n$을 $N(\mu,\sigma^2)$으로부터 얻은 랜덤표본이라고 할 때, $\mu$와 $\sigma^2$을 적률을 사용하는 방법으로 추정.

정규분포의 모적률 값

• 각 적률의 값은 적률생성함수로부터 구함.
  $\mu_1'=E(X^1)=\mu \\[10pt] \mu_2'=E(X^2)=\mu^2+\sigma^2$

표본적률

적률 추정

1) $\hat{\mu}$추정

2) $\hat{\sigma}^2$추정

$\\[20pt]$

예 4.3
$X_1,\ldots,X_n$을 $\text{GAM}(k,\theta)$으로부터 얻은 랜덤표본이라고 할 때, $\mu$와 $\sigma^2$을 적률을 사용하는 방법으로 추정.

정규분포의 모적률 값

• 각 적률의 값은 적률생성함수로부터 구함.
  $\mu_1'=E(X^1)=k\theta\\[10pt] \mu_2'=E(X^2)=k\theta^2+k^2\theta^2$

표본적률

적률 추정

1) $\hat{k}$추정

아래 추정된 $\hat{\theta}$를 이용하여 $\hat{k}$ 추정

2) $\hat{\theta}$추정

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[참고문헌]

• 수리통계학 제 5판 - 송성주, 전명식