표본정규분포

choyunjeong·2024년 12월 25일

수리통계학 여러 개의 확률분포

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1) 확률밀도함수

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 를 따르는 정규분포를 $Z=(X-\mu)/\sigma$ 라는 표준화 변환을 하면 확률밀도함수는 다음과 같고 $Z\sim N(0,1)$ 로 표기.

\begin{aligned} f(x)&=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp[-(x-\mu)^2/2\sigma^2]\quad (-\infty<x<\infty) \\[10pt] \rightarrow f_Z(z)&=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-z^2/2) \quad (-\infty<x<\infty) \end{aligned}

$\\[20pt]$

2) 기댓값
$X\sim N(0,\ 1)$ 를 따를 때

\begin{aligned} E(X) &=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{x^2}{2}\right) dx \\[10pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot \phi(x)dx \\[10pt] &=0 \end{aligned}

$\\[20pt]$

3) 분산
$X\sim N(0,\ 1)$ 를 따를 때

\begin{aligned} E(X^2) &=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{x^2}{2}\right) dx \\[10pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\cdot\phi(x)dx \\[10pt] &=1 \end{aligned}

$\therefore \text{Var}(X)=1-0=1$

참고 $\int_{-\infty}^{\infty}z^2\phi(z)dz=\int_{-\infty}^{\infty}[\phi''(z)+\phi'(z)]dz=1 \\[10pt] \int_{-\infty}^{\infty}\phi''(z)dz=(d^2/dz^2)\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)dz=0$

$\\[20pt]$

4) 적률생성함수

표준정규 확률변수 $Z\sim N(0,1)$ 의 적률생성함수는 다음과 같다.

\begin{aligned} M_Z(t) &=E(e^{tx}) \\[10pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}\exp(tz)\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-z^2/2) dz\\[15pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\{(-(z-t)^2/2+t^2/2)\} dz\\[15pt] &=\exp(t^2/2) \end{aligned}

따라서 적률생성함수로 활용한 기댓값과 분산은
$M^{(1)}_X(t)=(d/dt)\left(\exp(t^2/2)\right)=t\cdot\exp(t^2/2)\\[10pt]$

E(X)=M^{(1)}_X(0)=0

$M^{(2)}_X(t)=(d/dt)\left(t\cdot\exp(t^2/2)\right) = \exp(t^2/2)\cdot(1+t^2) \\[10pt]$

M^{(2)}_X(0)=1

$\therefore \text{Var}(X)=M^{(2)}_X(0)-\left\{M^{(1)}_X(0)\right\}^2=1$