수 묶기

수 묶기

문제

길이가 N인 수열이 주어졌을 때, 그 수열의 합을 구하려고 한다. 하지만, 그냥 그 수열의 합을 모두 더해서 구하는 것이 아니라, 수열의 두 수를 묶으려고 한다. 어떤 수를 묶으려고 할 때, 위치에 상관없이 묶을 수 있다. 하지만, 같은 위치에 있는 수(자기 자신)를 묶는 것은 불가능하다. 그리고 어떤 수를 묶게 되면, 수열의 합을 구할 때 묶은 수는 서로 곱한 후에 더한다.

예를 들면, 어떤 수열이 {0, 1, 2, 4, 3, 5}일 때, 그냥 이 수열의 합을 구하면 0+1+2+4+3+5 = 15이다. 하지만, 2와 3을 묶고, 4와 5를 묶게 되면, 0+1+(23)+(45) = 27이 되어 최대가 된다.

수열의 모든 수는 단 한번만 묶거나, 아니면 묶지 않아야한다.

수열이 주어졌을 때, 수열의 각 수를 적절히 묶었을 때, 그 합이 최대가 되게 하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수열의 크기 N이 주어진다. N은 50보다 작은 자연수이다. 둘째 줄부터 N개의 줄에 수열의 각 수가 주어진다. 수열의 수는 -1,000보다 크거나 같고, 1,000보다 작거나 같은 정수이다.

출력

수를 합이 최대가 나오게 묶었을 때 합을 출력한다. 정답은 항상 2^31보다 작다.

예제 입력 1

4
-1
2
1
3

예제 출력 1

6

예제 입력 2

6
0
1
2
4
3
5

예제 출력 2

27

예제 입력 3

1
-1

예제 출력 3

-1

예제 입력 4

3
-1
0
1

예제 출력 4

1

예제 입력 5

2
1
1

예제 출력 5

2

문제 해석

• 힙을 사용하여 양수 따로 음수 따로 힙을 나눈다.
• 양수는 최대힙, 음수는 최소 힙으로 절대값이 가장 크게끔 꺼내서 두 수를 곱한다.

예외

• 음수는 1개가 남은 상태에서 0이 있다면 서로 곱해서 0으로 만들어주는것이 좋다.
• 양수에 1이라는 숫자가 하나라도 들어와있는 상태라면 묶어서 곱하는것 보다 서로 더하는 것이 더 크다
  • ex) 1,7 -> 1 * 7 < 1 + 7
  • ex) 1,1 -> 1 * 1 < 1 + 1

풀이

양수는 무조건 최대힙에 집어넣는다.
음수는 최소힙에 집어넣는다.
0이 한개라도 들어온다면 flag_zero = True로 바꾸어준다.

1. 양수만 있는 조건 0 포함
   • while queue_plus:
     - 만약 개수가 1개라면?
     - sum += heappop()
     - 아니라면?
     - a = heappop(), b = heappop()
     - 만약 a나 b 둘 중 하나가 1이라면?
     - 서로 곱하는거보다 더하는게 더 큼
     - sum += a + b
     - 아니라면
     - sum += heappop() * heappop()
2. 음수만 있는 조건 0 포함해서
   • while queue_minus:
     - 만약 개수가 1개라면?
     - 만약 flag_zero == True
     - heappop()
     - 아니라면
     - sum += heappop()
     - 아니라면?
     - sum += heappop() * heappop()
3. 양수 음수 섞여있다면
   • 1번
   • 2번

import sys
import heapq

N = int(sys.stdin.readline())
queue_plus = []
queue_minus = []

flag_zero = False

for _ in range(N):
    a = int(sys.stdin.readline())
    if a > 0:
        heapq.heappush(queue_plus, -a)
    elif a < 0:
        heapq.heappush(queue_minus, a)
    else:
        flag_zero = True

sum = 0

while queue_plus:
    if len(queue_plus) == 1:
        sum -= heapq.heappop(queue_plus)
    else:
        a = heapq.heappop(queue_plus)
        b = heapq.heappop(queue_plus)
        if a == -1 or b == -1:
            sum += (-a - b)
        else:
            sum += a * b
while queue_minus:
    if len(queue_minus) == 1:
        if flag_zero == True:
            heapq.heappop(queue_minus)
        else:
            sum += heapq.heappop(queue_minus)
    else:
        sum += heapq.heappop(queue_minus) * heapq.heappop(queue_minus)

print(sum)

고찰

• 문제를 보자마자 힙을 떠올렸다.
• 묶은 수를 곱하기해서 최대 수를 출력한다면 무조건 가장 큰 수 끼리 묶는 것이 가장 크겠다고 생각을 했다.
• 음수도 절대값이 가장 큰 것끼리 묶으면 양수로 변하면서 가장 커지기 때문에 이것또한 힙이다.
• 초반 설계를 잘하긴 하였지만 예외 두가지를 설계 해놓지 못하여서 시간이 조금 더 걸렸다.