카잉 달력

solved_ac[Class3][카잉 달력](https://www.acmicpc.net/problem/6064)

문제

최근에 ICPC 탐사대는 남아메리카의 잉카 제국이 놀라운 문명을 지닌 카잉 제국을 토대로 하여 세워졌다는 사실을 발견했다. 카잉 제국의 백성들은 특이한 달력을 사용한 것으로 알려져 있다. 그들은 M과 N보다 작거나 같은 두 개의 자연수 x, y를 가지고 각 년도를 <x:y>와 같은 형식으로 표현하였다. 그들은 이 세상의 시초에 해당하는 첫 번째 해를 <1:1>로 표현하고, 두 번째 해를 <2:2>로 표현하였다. <x:y>의 다음 해를 표현한 것을 <x':y'>이라고 하자. 만일 x < M 이면 x' = x + 1이고, 그렇지 않으면 x' = 1이다. 같은 방식으로 만일 y < N이면 y' = y + 1이고, 그렇지 않으면 y' = 1이다. <M:N>은 그들 달력의 마지막 해로서, 이 해에 세상의 종말이 도래한다는 예언이 전해 온다.

예를 들어, M = 10 이고 N = 12라고 하자. 첫 번째 해는 <1:1>로 표현되고, 11번째 해는 <1:11>로 표현된다. <3:1>은 13번째 해를 나타내고, <10:12>는 마지막인 60번째 해를 나타낸다.

네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어질 때, <M:N>이 카잉 달력의 마지막 해라고 하면 <x:y>는 몇 번째 해를 나타내는지 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력 데이터는 표준 입력을 사용한다. 입력은 T개의 테스트 데이터로 구성된다. 입력의 첫 번째 줄에는 입력 데이터의 수를 나타내는 정수 T가 주어진다. 각 테스트 데이터는 한 줄로 구성된다. 각 줄에는 네 개의 정수 M, N, x와 y가 주어진다. (1 ≤ M, N ≤ 40,000, 1 ≤ x ≤ M, 1 ≤ y ≤ N) 여기서 <M:N>은 카잉 달력의 마지막 해를 나타낸다.

출력

출력은 표준 출력을 사용한다. 각 테스트 데이터에 대해, 정수 k를 한 줄에 출력한다. 여기서 k는 <x:y>가 k번째 해를 나타내는 것을 의미한다. 만일 <x:y>에 의해 표현되는 해가 없다면, 즉, <x:y>가 유효하지 않은 표현이면, -1을 출력한다.

예제 입력 1

3
10 12 3 9
10 12 7 2
13 11 5 6

예제 출력 1

33
-1
83

문제 해석

M, N, x, y를 입력 받는다. 여기서 말하는 M은 x가 1년씩 지나면서 최대치로 증가할 수 있는 max값이다. 이게 무슨 말이냐면 우리나라의 달력은 12월까지 있고 12가 지나가게 되면 1로 초기화가 되면서 다시 1씩 증가한다. 그렇다면 우리나라 달력의 M은 12이고 x는 1~12까지 증가했다가 초기화 되기를 반복하는 것이다. N도 마찬가지로 y가 증가할 수 있는 max값이다.

풀이

첫 번째 풀이

[틀린 풀이]

예시) M = 10, N = 12, x = 3, y = 9

• N과 M의 차 : (12 - 10) = 2
• y와 x의 차 : (9 - 3) = 6
• y와 x의 차 // N과 M의 차 = 3
• 10 * 3 + 3 = 33

이게 무슨 말이냐면 M과 N의 차이와 x와 y의 차이를 이용해서 몇 번의 M만큼 더해졌는지 구하는 식이다.

위의 예시에서는 M과 N의 차이가 2만큼 나는데 만약 x와 y가 2만큼만 차이가 난다면 딱 한바퀴의 M만큼 돌고난 후의 x라는 얘기이다.

그런데 이 풀이의 단점이 있다.

만약 x와 y의 차가 M과 N의 차이의 공배수라면 답은 바로 나오지만 그렇지 않다면 계속해서 M만큼 더해주면서 생각을 해야한다. 그런데 어느 범위까지 더해줄 지 생각이 안나서 이 풀이를 포기하였다.

코드

import sys

T = int(sys.stdin.readline())

for i in range(T):
    M, N, x, y = map(int, sys.stdin.readline().split())
    
    if M == N:
        if x != y:
            print("-1")
        else:
            print(x)
    elif M > N:
        index = 1
        while M * index < (M * N):
            a = M * index - x + y
            b = M - N
            if a % b == 0:
                print(N * (a // b) + y)
                break
            else:
                index += 1
        if M * index >= (M * N):
            print("-1")
    else:
        index = 1
        while N * index < (M * N):
            a = N * index - y + x
            b = N - M
            if a % b == 0:
                print(M * (a // b) + x)
                break
            else:
                index += 1
        if N * index >= (M * N):
            print("-1")

두 번째 풀이

[맞는 풀이]

위의 풀이에서는 M과 N의 차 x와 y의 차를 이용한 풀이였는데 그러면 경우의 수를 4가지나 생각해야한다.

• M >= N and x >= y
• M >= N and x < y
• M < N and x >= y
• M < N and x < y

그래서 생각해 낸 풀이가 공약수 풀이이다.

• Ex) 10(m) 12(n) 3(x) 9(y)
• 정답인 result는 3+(10*0) OR 3+(10*1) OR 3+(10*2)...... 3+(10*i)가 된다
• 점화식 : ((x + (m * i)) - x) % m == 0 and ((x + (m * i)) - y) % n == 0
• i를 증가시키면서 원래 x값 3에 m 값인 10을 계속 더해주면서 m과 n으로 나머지 연산을 했을 때 0이 나온다면 그에 만족하는 result값이 나온다.

코드

import sys

T = int(sys.stdin.readline())

for i in range(T):
    M, N, x, y = map(int, sys.stdin.readline().split())
    
    k = x
    while k <= M * N:
        if (k - x) % M == 0 and (k - y) % N == 0:
            print(k)
            break
        k += M
    if k > M * N:
        print("-1")