최단경로 알고리즘 이해

최단 경로 알고리즘의 이해

1. 최단 경로 문제란?

• 최단 경로 문제란 두 노드를 잇는 가장 짧은 경로를 찾는 문제임
• 가중치 그래프 (Weighted Graph) 에서 간선 (Edge)의 가중치 합이 최소가 되도록 하는 경로를 찾는 것이 목적

최단 경로 문제 종류

1. 단일 출발 및 단일 도착 (single-source and single-destination shortest path problem) 최단 경로 문제

• 그래프 내의 특정 노드 u 에서 출발, 또다른 특정 노드 v 에 도착하는 가장 짧은 경로를 찾는 문제

1. 단일 출발 (single-source shortest path problem) 최단 경로 문제

• 그래프 내의 특정 노드 u 와 그래프 내 다른 모든 노드 각각의 가장 짧은 경로를 찾는 문제

따지고 보면 굉장히 헷깔릴 수 있으므로 명확히 하자면,

예를 들어 A, B, C, D 라는 노드를 가진 그래프에서 특정 노드를 A 라고 한다면,

A 외 모든 노드인 B, C, D 각 노드와 A 간에 (즉, A - B, A - C, A - D) 각각 가장 짧은 경로를 찾는 문제를 의미함

1. 전체 쌍(all-pair) 최단 경로: 그래프 내의 모든 노드 쌍 (u, v) 에 대한 최단 경로를 찾는 문제

2. 최단 경로 알고리즘 - 다익스트라 알고리즘

• 다익스트라 알고리즘은 위의 최단 경로 문제 종류 중, 2번에 해당
  • 하나의 정점에서 다른 모든 정점 간의 각각 가장 짧은 거리를 구하는 문제

다익스트라 알고리즘 로직

• 첫 정점을 기준으로 연결되어 있는 정점들을 추가해 가며, 최단 거리를 갱신하는 기법
• 다익스트라 알고리즘은 너비우선탐색(BFS)와 유사
  • 첫 정점부터 각 노드간의 거리를 저장하는 배열을 만든 후, 첫 정점의 인접 노드 간의 거리부터 먼저 계산하면서, 첫 정점부터 해당 노드간의 가장 짧은 거리를 해당 배열에 업데이트

다익스트라 알고리즘의 다양한 변형 로직이 있지만, 가장 개선된 우선순위 큐를 사용하는 방식에 집중해서 설명하기로 함

• 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘
  • 우선순위 큐는 MinHeap 방식을 활용해서, 현재 가장 짧은 거리를 가진 노드 정보를 먼저 꺼내게 됨
  1. 첫 정점을 기준으로 배열을 선언하여 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 저장
     • 초기에는 첫 정점의 거리는 0, 나머지는 무한대로 저장함 (inf 라고 표현함)
     • 우선순위 큐에 (첫 정점, 거리 0) 만 먼저 넣음
  2. 우선순위 큐에서 노드를 꺼냄
     • 처음에는 첫 정점만 저장되어 있으므로, 첫 정점이 꺼내짐
     • 첫 정점에 인접한 노드들 각각에 대해, 첫 정점에서 각 노드로 가는 거리와 현재 배열에 저장되어 있는 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 비교한다.
     • 배열에 저장되어 있는 거리보다, 첫 정점에서 해당 노드로 가는 거리가 더 짧을 경우, 배열에 해당 노드의 거리를 업데이트한다.
     • 배열에 해당 노드의 거리가 업데이트된 경우, 우선순위 큐에 넣는다.
       • 결과적으로 너비 우선 탐색 방식과 유사하게, 첫 정점에 인접한 노드들을 순차적으로 방문하게 됨
       • 만약 배열에 기록된 현재까지 발견된 가장 짧은 거리보다, 더 긴 거리(루트)를 가진 (노드, 거리)의 경우에는 해당 노드와 인접한 노드간의 거리 계산을 하지 않음
  3. 2번의 과정을 우선순위 큐에 꺼낼 노드가 없을 때까지 반복한다.

3. 예제로 이해하는 다익스트라 알고리즘 (우선순위 큐 활용)

1단계: 초기화

• 첫 정점을 기준으로 배열을 선언하여 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 저장
  • 초기에는 첫 정점의 거리는 0, 나머지는 무한대로 저장함 (inf 라고 표현함)
  • 우선순위 큐에 (첫 정점, 거리 0) 만 먼저 넣음

2단계: 우선순위 큐에서 추출한 (A, 0) [노드, 첫 노드와의 거리] 를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산

• 우선순위 큐에서 노드를 꺼냄
  • 처음에는 첫 정점만 저장되어 있으므로, 첫 정점이 꺼내짐
  • 첫 정점에 인접한 노드들 각각에 대해, 첫 정점에서 각 노드로 가는 거리와 현재 배열에 저장되어 있는 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 비교한다.
  • 배열에 저장되어 있는 거리보다, 첫 정점에서 해당 노드로 가는 거리가 더 짧을 경우, 배열에 해당 노드의 거리를 업데이트한다.
  • 배열에 해당 노드의 거리가 업데이트된 경우, 우선순위 큐에 넣는다.
    • 결과적으로 너비 우선 탐색 방식과 유사하게, 첫 정점에 인접한 노드들을 순차적으로 방문하게 됨
    • 만약 배열에 기록된 현재까지 발견된 가장 짧은 거리보다, 더 긴 거리(루트)를 가진 (노드, 거리)의 경우에는 해당 노드와 인접한 노드간의 거리 계산을 하지 않음

이전 표에서 보듯이, 첫 정점 이외에 모두 inf 였었으므로, 첫 정점에 인접한 노드들은 모두 우선순위 큐에 들어가고, 첫 정점과 인접한 노드간의 거리가 배열에 업데이트됨

3단계: 우선순위 큐에서 (C, 1) [노드, 첫 노드와의 거리] 를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산

• 우선순위 큐가 MinHeap(최소 힙) 방식이므로, 위 표에서 넣어진 (C, 1), (D, 2), (B, 8) 중 (C, 1) 이 먼저 추출됨 (pop)
• 위 표에서 보듯이 1단계까지의 A - B 최단 거리는 8 인 상황임
  • A - C 까지의 거리는 1, C 에 인접한 B, D에서 C - B는 5, 즉 A - C - B 는 1 + 5 = 6 이므로, A - B 최단 거리 8보다 더 작은 거리를 발견, 이를 배열에 업데이트
    • 배열에 업데이트했으므로 B, 6 (즉 A에서 B까지의 현재까지 발견한 최단 거리) 값이 우선순위 큐에 넣어짐
  • C - D 의 거리는 2, 즉 A - C - D 는 1 + 2 = 3 이므로, A - D의 현재 최단 거리인 2 보다 긴 거리, 그래서 D 의 거리는 업데이트되지 않음

4단계: 우선순위 큐에서 (D, 2) [노드, 첫 노드와의 거리] 를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산

• 지금까지 접근하지 못했던 E와 F 거리가 계산됨
  • A - D 까지의 거리인 2 에 D - E 가 3 이므로 이를 더해서 E, 5
  • A - D 까지의 거리인 2 에 D - F 가 5 이므로 이를 더해서 F, 7

5단계: 우선순위 큐에서 (E, 5) [노드, 첫 노드와의 거리] 를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산

• A - E 거리가 5인 상태에서, E에 인접한 F를 가는 거리는 1, 즉 A - E - F 는 5 + 1 = 6, 현재 배열에 A - F 최단거리가 7로 기록되어 있으므로, F, 6 으로 업데이트
  • 우선순위 큐에 F, 6 추가

6단계: 우선순위 큐에서 (B, 6), (F, 6) 를 순차적으로 추출해 각 노드 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산

• 예제의 방향 그래프에서 B 노드는 다른 노드로 가는 루트가 없음
• F 노드는 A 노드로 가는 루트가 있으나, 현재 A - A 가 0 인 반면에 A - F - A 는 6 + 5 = 11, 즉 더 긴 거리이므로 업데이트되지 않음

6단계: 우선순위 큐에서 (F, 7), (B, 8) 를 순차적으로 추출해 각 노드 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산

• A - F 로 가는 하나의 루트의 거리가 7 인 상황이나, 배열에서 이미 A - F 로 가는 현재의 최단 거리가 6인 루트의 값이 있는 상황이므로, 더 긴거리인 F, 7 루트 기반 인접 노드까지의 거리는 계산할 필요가 없음, 그래서 계산없이 스킵함
  • 계산하더라도 A - F 거리가 6인 루트보다 무조건 더 긴거리가 나올 수 밖에 없음
• B, 8 도 현재 A - B 거리가 6이므로, 인접 노드 거리 계산이 필요 없음.

우선순위 큐를 사용하면 불필요한 계산 과정을 줄일 수 있음

우선순위 큐 사용 장점

• 지금까지 발견된 가장 짧은 거리의 노드에 대해서 먼저 계산
• 더 긴 거리로 계산된 루트에 대해서는 계산을 스킵할 수 있음

4. 다익스트라 알고리즘 파이썬 구현 (우선순위 큐 활용까지 포함)

참고: heapq 라이브러리 활용을 통해 우선순위 큐 사용하기

• 데이터가 리스트 형태일 경우, 0번 인덱스를 우선순위로 인지, 우선순위가 낮은 순서대로 pop 할 수 있음

import heapq
queue = []
heapq.heappush(queue, [2, 'A'])
heapq.heappush(queue, [5, 'B'])
heapq.heappush(queue, [1, 'C'])
heapq.heappush(queue, [7, 'D'])
print (queue)
for index in range(len(queue)):    
		print (heapq.heappop(queue))

[[1, 'C'], [5, 'B'], [2, 'A'], [7, 'D']]
[1, 'C']
[2, 'A']
[5, 'B']
[7, 'D']

다익스트라 알고리즘

• 탐색할 그래프의 시작 정점과 다른 정점들간의 최단 거리 구하기

mygraph = {    
		'A': {'B': 8, 'C': 1, 'D': 2},    
		'B': {},    
		'C': {'B': 5, 'D': 2},    
		'D': {'E': 3, 'F': 5},    
		'E': {'F': 1},    
		'F': {'A': 5}
}

import heapq
def dijkstra(graph, start):  
  
		distances = {node: float('inf') for node in graph}    
		distances[start] = 0    
		queue = []    
		heapq.heappush(queue, [distances[start], start])    

		while queue:        
				current_distance, current_node = heapq.heappop(queue)    
    
				if distances[current_node] < current_distance:            
						continue        

				for adjacent, weight in graph[current_node].items():            
						distance = current_distance + weight        
    
						if distance < distances[adjacent]:                
								distances[adjacent] = distance                
								heapq.heappush(queue, [distance, adjacent]) 
   
		return distances

dijkstra(mygraph, 'A')

{'A': 0, 'B': 6, 'C': 1, 'D': 2, 'E': 5, 'F': 6}

참고: 최단 경로 출력

• 탐색할 그래프의 시작 정점과 다른 정점들간의 최단 거리 및 최단 경로 출력하기

import heapq

# 탐색할 그래프와 시작 정점을 인수로 전달받습니다.
def dijkstra(graph, start, end):
    # 시작 정점에서 각 정점까지의 거리를 저장할 딕셔너리를 생성하고, 무한대(inf)로 초기화합니다.
    distances = {vertex: [float('inf'), start] for vertex in graph}

    # 그래프의 시작 정점의 거리는 0으로 초기화 해줌
    distances[start] = [0, start]

    # 모든 정점이 저장될 큐를 생성합니다.
    queue = []

    # 그래프의 시작 정점과 시작 정점의 거리(0)을 최소힙에 넣어줌
    heapq.heappush(queue, [distances[start][0], start])

    while queue:
        
        # 큐에서 정점을 하나씩 꺼내 인접한 정점들의 가중치를 모두 확인하여 업데이트합니다.
        current_distance, current_vertex = heapq.heappop(queue)
        
        # 더 짧은 경로가 있다면 무시한다.
        if distances[current_vertex][0] < current_distance:
            continue
            
        for adjacent, weight in graph[current_vertex].items():
            distance = current_distance + weight
            # 만약 시작 정점에서 인접 정점으로 바로 가는 것보다 현재 정점을 통해 가는 것이 더 가까울 경우에는
            if distance < distances[adjacent][0]:
                # 거리를 업데이트합니다.
                distances[adjacent] = [distance, current_vertex]
                heapq.heappush(queue, [distance, adjacent])
    
    path = end
    path_output = end + '->'
    while distances[path][1] != start:
        path_output += distances[path][1] + '->'
        path = distances[path][1]
    path_output += start
    print (path_output)
    return distances

# 방향 그래프
mygraph = {
    'A': {'B': 8, 'C': 1, 'D': 2},
    'B': {},
    'C': {'B': 5, 'D': 2},
    'D': {'E': 3, 'F': 5},
    'E': {'F': 1},
    'F': {'A': 5}
}

print(dijkstra(mygraph, 'A', 'F'))

F->E->D->A
{'A': [0, 'A'], 'B': [6, 'C'], 'C': [1, 'A'], 'D': [2, 'A'], 'E': [5, 'D'], 'F': [6, 'E']}

5. 시간 복잡도

• 위 다익스트라 알고리즘은 크게 다음 두 가지 과정을 거침
  • 과정1: 각 노드마다 인접한 간선들을 모두 검사하는 과정
  • 과정2: 우선순위 큐에 노드/거리 정보를 넣고 삭제(pop)하는 과정
• 각 과정별 시간 복잡도
  • 과정1: 각 노드는 최대 한 번씩 방문하므로 (첫 노드와 해당 노드간의 갈 수 있는 루트가 있는 경우만 해당), 그래프의 모든 간선은 최대 한 번씩 검사
    • 즉, 각 노드마다 인접한 간선들을 모두 검사하는 과정은 O(E) 시간이 걸림, E 는 간선(edge)의 약자
  • 과정2: 우선순위 큐에 가장 많은 노드, 거리 정보가 들어가는 경우, 우선순위 큐에 노드/거리 정보를 넣고, 삭제하는 과정이 최악의 시간이 걸림
    • 우선순위 큐에 가장 많은 노드, 거리 정보가 들어가는 시나리오는 그래프의 모든 간선이 검사될 때마다, 배열의 최단 거리가 갱신되고, 우선순위 큐에 노드/거리가 추가되는 것임
    • 이 때 추가는 각 간선마다 최대 한 번 일어날 수 있으므로, 최대 O(E)의 시간이 걸리고, O(E) 개의 노드/거리 정보에 대해 우선순위 큐를 유지하는 작업은 $ O(log{E}) $ 가 걸림
      • 따라서 해당 과정의 시간 복잡도는 $ O(Elog{E}) $

총 시간 복잡도

• 과정1 + 과정2 = O(E) + $ O(Elog{E}) $ = $ O(E + Elog{E}) = O(Elog{E}) $

참고: 힙의 시간 복잡도

• depth (트리의 높이) 를 h라고 표기한다면,
• n개의 노드를 가지는 heap 에 데이터 삽입 또는 삭제시, 최악의 경우 root 노드에서 leaf 노드까지 비교해야 하므로 h=log2n 에 가까우므로, 시간 복잡도는 O(logn)