[백준/Python] 1956 - 운동

문제

V개의 마을와 E개의 도로로 구성되어 있는 도시가 있다. 도로는 마을과 마을 사이에 놓여 있으며, 일방 통행 도로이다. 마을에는 편의상 1번부터 V번까지 번호가 매겨져 있다고 하자.

당신은 도로를 따라 운동을 하기 위한 경로를 찾으려고 한다. 운동을 한 후에는 다시 시작점으로 돌아오는 것이 좋기 때문에, 우리는 사이클을 찾기를 원한다. 단, 당신은 운동을 매우 귀찮아하므로, 사이클을 이루는 도로의 길이의 합이 최소가 되도록 찾으려고 한다.

도로의 정보가 주어졌을 때, 도로의 길이의 합이 가장 작은 사이클을 찾는 프로그램을 작성하시오. 두 마을을 왕복하는 경우도 사이클에 포함됨에 주의한다.

입력

첫째 줄에 V와 E가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. (2 ≤ V ≤ 400, 0 ≤ E ≤ V(V-1)) 다음 E개의 줄에는 각각 세 개의 정수 a, b, c가 주어진다. a번 마을에서 b번 마을로 가는 거리가 c인 도로가 있다는 의미이다. (a → b임에 주의) 거리는 10,000 이하의 자연수이다. (a, b) 쌍이 같은 도로가 여러 번 주어지지 않는다.

출력

첫째 줄에 최소 사이클의 도로 길이의 합을 출력한다. 운동 경로를 찾는 것이 불가능한 경우에는 -1을 출력한다.

풀이 방법
굉장히 오랫동안 헤맸던 문제 중 하나 ..
처음에는 시간복잡도 고려안하고 사이클 찾기에 눈 돌아가서 DFS로 사이클 찾는 데에 집중했다가 다익스트라로 접근했다
V개 노드 각각에서 다익스트라를 돌고 A -> B가 inf가 아니고 B -> A도 inf가 아니면 사이클이 있다고 판단해 최소값을 찾으려 했다
로직이 틀린 것은 아닌데 $O(V(ElogV))$라서 시간초과가 간당간당했다
찾아보니 플로이드 워셜 알고리즘을 쓰면 딱 좋은 문제였다 ㅋㅋ ..
다익스트라는 특정 한 점에서 시작해서 다른 점들 까지의 최단거리를 구하기 때문에 모든 노드끼리의 거리를 구하려면 V번 다익스트라를 수행해야된다
그러나 플로이드 워셜은 모든 노든끼리의 거리를 구할 수 있다

플로이드 워셜 알고리즘에 대해 짧게 정리하자면,
1. 처음 주어지는 경로들에 대한 정보를 기준으로 2차원 리스트를 저장한다
2. 이후 1~V까지의 노드들에 대해서 반드시 지나야 할 노드를 선정한다 이를 K라고 칭한다
3. 시작노드 i에 대해서 도착노드 j까지의 최단 거리는 min(다이렉트로 i에서 j까지 가는 경우, i에서 k까지 가는 경우 + k에서 j까지 가는 경우) 이다

이 문제에서는 사이클이 있는 경우의 최단 거리를 찾는 것이기 때문에 다익스트라를 적용했을 때와 동일하게 A -> B가 inf가 아니고 B -> A도 inf가 아니면 사이클이 있다고 판단했다
이 과정에서 주의해야할 점은 A와 B가 같은 경우, 즉 자신으로부터 자신까지의 거리가 주어진 경우는 무조건 주어진 거리가 최소이므로 이를 고려해야한다 그래서 이후에 최솟값을 계산할 때 대각선에 위치하는 (A==B) 곳의 값이 0이라면 inf로 바꿔주는 것이 중요하다

또한 마지막 조건으로 사이클이 없으면 -1을 출력해야하는데, min_num을 sys.maxsize로 초기화해놓고 마지막에 inf인지 검사했다가 틀렸었다 ,, 둘은 같지 않음을 주의할 것

코드

import sys, heapq

v, e = map(int, sys.stdin.readline().split())

inf = float("inf")
graph = [[inf]*(v+1) for _ in range(v+1)]

for _ in range(e):
    a, b, c = map(int, sys.stdin.readline().split())
    graph[a][b] = c

for i in range(1, v+1):
    if graph[i][i] == inf:
        graph[i][i] = 0

for k in range(1, v+1):
    for i in range(1, v+1):
        for j in range(1, v+1):
            graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k]+graph[k][j])

min_num = inf

for i in range(1, v+1):
    if graph[i][i] == 0:
        graph[i][i] = inf
            
for i in range(1, v+1):
    for j in range(1, v+1):
        if i == j:
            min_num = min(graph[i][j], min_num)
        else:
            min_num = min(graph[i][j] + graph[j][i], min_num)

if min_num == inf:
    print(-1)
else:
    print(min_num)